Considere a seguinte função de transferência, G(s)=\frac{1}{\left(s^{2}+4 s+4\right)}. Obtenha a frequencia natural, analisar o tipo de resposta, calcular o sobre-sinal, o tempo de pico o tempo de acomodação e obter a resposta ao degrau unitário.

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
G(s)=\frac{1}{s^{2}+4s+4}
e pede: frequência natural, tipo de resposta (ζ), sobressinal, tempo de pico, tempo de acomodação (settling time) e resposta ao degrau unitário. Vamos usar a forma padrão de um sistema de segunda ordem:
G(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2}.

Passo 2

Comparando s^2+4s+4 com s^2+2\zeta\omega_n s+\omega_n^2, temos
\omega_n^2=4 \quad\text{e}\quad 2\zeta\omega_n=4.

Passo 3

Da primeira igualdade obtém-se
\omega_n=2\\ (\text{rad/s}),
e da segunda
\zeta=\frac{4}{2\cdot2}=1.

Passo 4

Como \zeta=1, o sistema é criticamente amortecido. Nesse caso não ocorre oscilação e o sobressinal percentual é
M_p=0\%.

Passo 5

O tempo de pico t_p tradicionalmente indica o instante do primeiro máximo para resposta subamortecida. Aqui, em regime criticamente amortecido, não há pico além do valor final monótono, logo t_p não se aplica (ou é zero trivial).

Passo 6

Para o tempo de acomodação ao critério de 2\%, usa-se
t_s\approx\frac{4}{\zeta\,\omega_n}=\frac{4}{1\cdot2}=2\\ \text{s}.

Passo 7

A resposta ao degrau unitário de um sistema criticamente amortecido é
y(t)=1-\bigl(1+\omega_n\,t\bigr)e^{-\omega_n t}.
Substituindo \omega_n=2:
\boxed{y(t)=1-\bigl(1+2t\bigr)e^{-2t},\quad t\ge0.}

Resposta

\omega_n=2\\ \mathrm{rad/s},\;\zeta=1 (critically damped), M_p=0\%, t_p não se aplica, t_s\approx2\\ \mathrm s, y(t)=1-(1+2t)e^{-2t}.

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