Um circuito elétrico apresenta a seguinte equação, G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{s+1}{s+5}. Suponha que o circuito sofra uma perturbação degrau, obter a resposta forçada, a resposta natural e c(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{s+1}{s+5}
e pede a resposta a uma entrada degrau unitário r(t)=1\cdot u(t). Para resolver vamos usar transformada de Laplace, decomposição em frações parciais e inversão de Laplace. Iremos obter a resposta natural (homogênea), a resposta forçada (particular) e a solução completa c(t).

Passo 2

A resposta natural c_n(t) vem da solução homogênea, isto é, da equação
(s+5)C_h(s)=0\quad\Longrightarrow\quad s=-5.
No domínio do tempo isso corresponde a
c_n(t)=K\,e^{-5t},
onde K é uma constante a ser determinada pelas condições iniciais.

Passo 3

Para obter a resposta completa fazemos R(s)=\frac{1}{s}, de modo que
C(s)=G(s)\,R(s)=\frac{s+1}{s+5}\,\frac{1}{s}=\frac{s+1}{s\,(s+5)}.
Para encontrar a parte particular (forçada) e a parte natural combinadas, vamos decompor em frações parciais.

Passo 4

Procuramos constantes A\) e \(B\) tais que \[\frac{s+1}{s\,(s+5)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+5}.
Multiplicando ambos os lados por s(s+5) obtemos
s+1=A\,(s+5)+B\,s=(A+B)\,s+5A.
Igualando coeficientes em s e termo independente:
\begin{cases} A+B=1,\\\\ 5A=1, \end{cases}
logo A=\tfrac{1}{5}\] e \(B=1-A=\tfrac{4}{5}. Portanto
C(s)=\frac{1/5}{s}+\frac{4/5}{s+5}.

Passo 5

Invertemos a Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{1/5}{s}\Bigr\}=\tfrac{1}{5},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\tfrac{4/5}{s+5}\Bigr\}=\tfrac{4}{5}\,e^{-5t}.
Logo a resposta completa é
c(t)=\underbrace{\tfrac{1}{5}}_{\text{forçada}}+\underbrace{\tfrac{4}{5}\,e^{-5t}}_{\text{natural}}.ç

Resposta

Resposta natural: c_n(t)=\tfrac{4}{5}\,e^{-5t}
Resposta forçada: c_f(t)=\tfrac{1}{5}
Resposta total:
c(t)=\tfrac{1}{5}+\tfrac{4}{5}\,e^{-5t}.

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