Considere a seguinte intensidade de irradiação normalizada:
Pn(theta, phi)=sen^2(theta) cdot sen(phi / 2)
Determine a diretividade.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é: “Dada a intensidade de irradiação normalizada
determine a diretividade.”
Isso é um assunto de Antenas, mais precisamente cálculo de diretividade a partir de um padrão de radiação. Para resolver, vamos precisar:
  1. Saber que diretividade Pn(theta, phi)=sen^2(theta),sen!l(tfracphi2r),, é dada por D = 4piPrm rad,, onde Prm rad=integral dupla4piPn(theta,phi),dOmega
  2. Entender que .
  3. Resolver duas integrais: uma em e outra em .

Passo 2

Escrevendo direitinho a potência total irradiada:
A gente pode separar a integral em Prm rad =integralphi=0^2piintegraltheta=0^pi l[sen^2!(theta),sen(tfracphi2)r] ;sentheta;dtheta,dphi e em Prm rad =l(integral0^2pisen(tfracphi2),dphir) ;times; l(integral0^pisen^2(theta),sentheta,dthetar) :

Passo 3

Calculando a parte em integral0^2pisen!l(tfracphi2r),dphi :
Faz a troca integral0^2pisen!l(tfracphi2r),dphi =2integral0^pisen(u),du =2l[-cos(u)r]0^pi =2l[-cospi + cos0r] =2,(1+1) =4 e quando vai de a , o vai de a .

Passo 4

Agora a parte em integral0^pisen^2(theta),sentheta,dtheta =integral0^pisen^3(theta),dtheta :
Um jeito fácil é usar a fórmula padrão
,
mas como integral0^pisen^3theta,dtheta =43 a gente lembra que dá

Passo 5

Juntando as duas partes:
Prm rad = l[4r]timesl[tfrac43r] = 163
Logo a diretividade é
D = 4piPrm rad = 4pitfrac163 = 4picdot316 = 3pi4

Resposta

A diretividade do padrão dado é
boxedD = 3pi4

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