Considere a seguinte matriz. Mostre que \operatorname{det} \mathrm{A}=0
A=\left|\begin{array}{lll}
a & b & \alpha a+\beta b \\
c & d & \alpha c+\beta d \\
e & f & \alpha e+\beta f
\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz 3×3
A = \begin{vmatrix} a & b & \alpha a + \beta b\\\ c & d & \alpha c + \beta d\\\ e & f & \alpha e + \beta f \end{vmatrix}
e pede para mostrar que \det A = 0. O conteúdo a usar é a propriedade de linearidade em cada coluna do determinante e o fato de que colunas linearmente dependentes implicam determinante zero.
Passo 2
Denotemos por \mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2 e \mathbf{c}_3 as colunas de A:
Mas \det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_1)=0 e \det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_2)=0 porque em cada determinante aparece duas colunas iguais. Logo o resultado é zero.