Considere a seguinte matriz. Mostre que \operatorname{det} \mathrm{A}=0
A=\left|\begin{array}{lll} a & b & \alpha a+\beta b \\ c & d & \alpha c+\beta d \\ e & f & \alpha e+\beta f \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz 3×3
A = \begin{vmatrix} a & b & \alpha a + \beta b\\\ c & d & \alpha c + \beta d\\\ e & f & \alpha e + \beta f \end{vmatrix}
e pede para mostrar que \det A = 0. O conteúdo a usar é a propriedade de linearidade em cada coluna do determinante e o fato de que colunas linearmente dependentes implicam determinante zero.

Passo 2

Denotemos por \mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2 e \mathbf{c}_3 as colunas de A:
\mathbf{c}_1 = \begin{pmatrix}a\c\e\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_2 = \begin{pmatrix}b\d\f\end{pmatrix},\quad \mathbf{c}_3 = \begin{pmatrix}\alpha a+\beta b\\alpha c+\beta d\\alpha e+\beta f\end{pmatrix}.

Passo 3

Observamos que
\mathbf{c}_3 = \alpha\,\mathbf{c}_1 + \beta\,\mathbf{c}_2,
ou seja, a terceira coluna é combinação linear das duas primeiras.

Passo 4

Pela linearidade do determinante em cada coluna, temos
\det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_3) = \det\bigl(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\alpha\,\mathbf{c}_1 + \beta\,\mathbf{c}_2\bigr) = \alpha\,\det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_1) + \beta\,\det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_2).
Mas \det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_1)=0 e \det(\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_2,\mathbf{c}_2)=0 porque em cada determinante aparece duas colunas iguais. Logo o resultado é zero.

Resposta

\det A = 0.

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