Prove que o seguinte determinante é igual a zero
A=\left|\begin{array}{lllll} 0 & 0 & 0 & a & b \\ 0 & 0 & 0 & c & d \\ 0 & 0 & 0 & e & f \\ p & q & r & s & t \\ v & w & x & y & z \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante
A = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & a & b \\\\ 0 & 0 & 0 & c & d \\\\ 0 & 0 & 0 & e & f \\\ p & q & r & s & t \\\ v & w & x & y & z \end{vmatrix}
é igual a zero. O conteúdo aqui é dependência linear de colunas e a propriedade de que determinante de matriz singular (colunas dependentes) vale zero.

Passo 2

Repare que as três primeiras colunas de A são
\text{col}_1 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\p\v\end{pmatrix},\quad \text{col}_2 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\q\w\end{pmatrix},\quad \text{col}_3 = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\r\x\end{pmatrix}.
Essas colunas têm entradas não nulas apenas nas linhas 4 e 5, ou seja, vivem em um subespaço de dimensão 2 de \mathbb{R}^5. Como em qualquer espaço de dimensão 2 três vetores são sempre linearmente dependentes, existe combinação
\alpha\,\text{col}_1 + \beta\,\text{col}_2 + \gamma\,\text{col}_3 = 0
com \alpha,\beta,\gamma não todos nulos.

Passo 3

Pela propriedade de determinantes, se as colunas de uma matriz são linearmente dependentes, a matriz é singular e seu determinante é zero. Portanto,

Resposta

\det(A)=0.

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