Considere a seguinte matriz de mudança da base beta para a base beta^prime de R^3
Ibeta^prime^beta=(ccc 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 )
seja v in R^3 tal que
vbeta^prime=(l 2 0 4 )
determine as coordenadas de v com relação a beta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as coordenadas de um vetor 2 0 4 na base Ibeta^prime^beta = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 , sabendo que ele está representado na base pelas coordenadas . A matriz que faz a mudança de base de para é:
Vamos usar conceitos de mudança de base e transformação de coordenadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a matriz é a matriz de mudança de base que transforma coordenadas da base para a base . Mas a gente quer o contrário: transformar de para .
Para isso, vamos precisar da matriz inversa de , que chamaremos de . Essa inversa vai nos permitir voltar de para .

Passo 3

Vamos calcular a inversa de Ibeta^prime^beta = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 0 1 & 1 & -1 . A matriz dada é:
[ Ibeta^prime^beta , | , I ] = 1 & 1 & 1 & | & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & | & 0 & 1 & 0 1 & 1 & -1 & | & 0 & 0 & 1
Para encontrar a inversa, podemos usar o método de matriz aumentada ou a regra de Sarrus. Aqui, vamos usar a matriz aumentada:
[Ibeta^prime^beta]^-1 = 0 & 0 & 12 1 & -1 & 12 1 & 1 & 12
Aplicando operações elementares para transformar o lado esquerdo em identidade, o lado direito se tornará a inversa .
Após os cálculos, a inversa fica:

Passo 4

Agora que temos a matriz inversa, podemos usar ela para encontrar as coordenadas de vbeta = [Ibeta^prime^beta]^-1 cdot vbeta' na base vbeta = 0 & 0 & 12 1 & -1 & 12 1 & 1 & 12 cdot 2 0 4 . A relação entre as coordenadas é:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos fazer a multiplicação das matrizes:
vbeta = 0 cdot 2 + 0 cdot 0 + 12 cdot 4 1 cdot 2 + (-1) cdot 0 + 12 cdot 4 1 cdot 2 + 1 cdot 0 + 12 cdot 4 = 0 + 0 + 2 2 + 0 + 2 2 + 0 + 2 = 2 4 4

Resposta

As coordenadas de vbeta = 2 4 4 na base são:

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