Considere o seguinte modelo do tanque agitado aquecido eletricamente:
onde
e
são as capacidades térmicas do conteúdo do tanque e do elemento de aquecimento, respectivamente. O termo
é o produto do coeficiente de transferência de calor pela área disponível para a transferência de calor. Além disso,
é uma variável de entrada, representando o equivalente térmico da dissipação instantânea de potência elétrica no elemento de aquecimento.
Dentro desse contexto, derive as funções de transferência que relacionam as variações na temperatura de saída
com as variações nas duas variáveis de entrada: entrada do aquecedor
(assumindo que não há variação na temperatura de entrada) e temperatura de entrada
(assumindo que não há variação na entrada do aquecedor).
Dentro desse contexto, derive as funções de transferência que relacionam as variações na temperatura de saída
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um tanque agitado que tem duas temperaturas dinâmicas: a do conteúdo do tanque,
, e a do elemento de aquecimento,
. O enunciado dá duas equações diferenciais em tempo contínuo que descrevem como essas temperaturas evoluem quando mudam a vazão de calor
e a temperatura de entrada
.
Conteúdo da matéria: sistemas lineares e funções de transferência.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: sistemas lineares e funções de transferência.
O que vamos precisar:
- Fazer a transformada de Laplace das equações (assumindo variações em torno do ponto de operação).
- Montar as equações algébricas no domínio de
. - Resolver para
em função de (fixando ) e em função de (fixando ).
Passo 2
Primeiro, escrevemos as equações de estado em termos de variações
,
,
e
:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace (com condições iniciais nulas):
Vamos chamar
O determinante do sistema é
Passo 3
Para achar a função de transferência de
em relação a
, a gente zera
e faz
Já para a variação de
em relação a
, a gente zera
e obtém
Resposta
As duas funções de transferência desejadas são