Considere o seguinte modelo do tanque agitado aquecido eletricamente:
m C d Td t & =w C(Ti-T)+he Ae(Te-T) me Ce d Ted t & =Q-he Ae(Te-T)
onde m C e me Ce são as capacidades térmicas do conteúdo do tanque e do elemento de aquecimento, respectivamente. O termo he Ae é o produto do coeficiente de transferência de calor pela área disponível para a transferência de calor. Além disso, Q é uma variável de entrada, representando o equivalente térmico da dissipação instantânea de potência elétrica no elemento de aquecimento.
Dentro desse contexto, derive as funções de transferência que relacionam as variações na temperatura de saída T com as variações nas duas variáveis de entrada: entrada do aquecedor Q (assumindo que não há variação na temperatura de entrada) e temperatura de entrada Ti (assumindo que não há variação na entrada do aquecedor).

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um tanque agitado que tem duas temperaturas dinâmicas: a do conteúdo do tanque, , e a do elemento de aquecimento, . O enunciado dá duas equações diferenciais em tempo contínuo que descrevem como essas temperaturas evoluem quando mudam a vazão de calor e a temperatura de entrada .
Conteúdo da matéria: sistemas lineares e funções de transferência.
O que vamos precisar:
  1. Fazer a transformada de Laplace das equações (assumindo variações em torno do ponto de operação).
  2. Montar as equações algébricas no domínio de .
  3. Resolver para em função de (fixando ) e em função de (fixando ).

Passo 2

Primeiro, escrevemos as equações de estado em termos de variações mC,dDe, (mC,s + wC + heAe),De, a11=mC,s + wC + heAe, a12=-heAe, a21=-heAe, a22=meCe,s + heAe e De:
Agora, aplicamos a transformada de Laplace (com condições iniciais nulas):
Vamos chamar
O determinante do sistema é

Passo 3

Para achar a função de transferência de De em relação a De, a gente zera e faz
Já para a variação de em relação a , a gente zera e obtém

Resposta

As duas funções de transferência desejadas são
GTQ(s)=De
GTi(s)=De

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