O modelo dinâmico entre uma variável de saída y e uma variável de entrada u pode ser descrito por:
d^2 y(t)d^2 t+3 d y(t)d t+y(t)=4 d u(t-2)d t-u(t-2)
Qual é o ganho em estado estacionário?

Passo 1

Beleza, aqui a questão fala de uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a saída com a entrada atrasada . O que a gente vai usar para resolver é:
  • Transformada de Laplace (pra passar a equação do tempo contínuo para o “domínio de ”)
  • Definição de função de transferência
  • Conceito de ganho em estado estacionário, que é simplesmente .

Passo 2

Primeiro, toma a Laplace de cada termo (supondo condições iniciais nulas para simplificar). A equação é
d^2ydt^2 + 3dydt + y = 4ddtu(t-2) - u(t-2)
Em Laplace:
  • s^2Y + 3,s,Y + Y = 4l(s,e^-2sUr) ;-; e^-2sU ,
  • ,
  • ,
  • e para a entrada atrasada e .
Substituindo:

Passo 3

Agora a gente isola o quociente H(s);=;Y(s)U(s) ;=;4,s,e^-2s-e^-2ss^2+3s+1 ;=;e^-2s,4s-1s^2+3s+1 , que é a função de transferência :
O atraso não altera o ganho estático (ele só muda a fase/detalhes de tempo).

Passo 4

Ganho em estado estacionário é definido como
Kss ;=; H(0)
Basta pôr H(0) ;=;4cdot 0 - 10^2+3cdot 0 + 1 ;=;-11 ;=;-1 em , ignorando o fator de atraso (que vira ):

Resposta

O ganho em estado estacionário é .

Exercícios relacionados