A função de transferência de uma malha de controle com realimentação é dada por:
C(s)R(s)=Kc(3 s+1)(s+1)+Kc
em que Kc é um parâmetro a ser definido pelo projetista.
A resposta pode ser instável para algum valor positivo do ganho do controlador?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma malha fechada com função de transferência
C(s)R(s) ;=; Kc(3s+1)(s+1) + Kc
e a pergunta é: para algum , essa resposta pode ficar instável?
Conteúdo que vamos usar: estabilidade de sistemas pelo critério de Routh–Hurwitz (no caso de polinômio de 2º grau) e um tiquinho de álgebra pra achar a “equação característica”.

Passo 2

Primeiro passo prá valer: vamos achar a equação característica, ou seja, igualar o denominador a zero.
Denominador = (3s+1)(s+1) + Kc ;=; 3s^2 + 3s + s + 1 + Kc ;=; 3s^2 + 4s + (1 + Kc) .
Expandindo:
3s^2 + 4s + (1 + Kc) ;=; 0
Então a equação característica é

Passo 3

Agora, critério de estabilidade para polinômio de 2º grau :
o sistema é estável se, e somente se,
  1. .
No nosso caso:
a = 3,
b = 4,
c = 1 + K_c.
Como e sempre, resta ver .
Mas como , temos .
Logo, todas as três condições estão satisfeitas para qualquer .

Resposta

Não: para todo valor positivo de , o sistema continua estável (nunca fica instável).

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