A função de transferência de uma malha de controle com realimentação é dada por:
em que
é um parâmetro a ser definido pelo projetista.
A resposta pode ser instável para algum valor positivo do ganho do controlador?
A resposta pode ser instável para algum valor positivo do ganho do controlador?
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos uma malha fechada com função de transferência
e a pergunta é: para algum
, essa resposta pode ficar instável?
Conteúdo que vamos usar: estabilidade de sistemas pelo critério de Routh–Hurwitz (no caso de polinômio de 2º grau) e um tiquinho de álgebra pra achar a “equação característica”.
Conteúdo que vamos usar: estabilidade de sistemas pelo critério de Routh–Hurwitz (no caso de polinômio de 2º grau) e um tiquinho de álgebra pra achar a “equação característica”.
Passo 2
Primeiro passo prá valer: vamos achar a equação característica, ou seja, igualar o denominador a zero.
Denominador = .
Expandindo:
Denominador =
Expandindo:
Então a equação característica é
Passo 3
Agora, critério de estabilidade para polinômio de 2º grau
:
o sistema é estável se, e somente se,
o sistema é estável se, e somente se,
-
-
-
.
No nosso caso:
a = 3,
b = 4,
c = 1 + K_c.
a = 3,
b = 4,
c = 1 + K_c.
Como
e
sempre, resta ver
.
Mas como , temos
.
Mas como
Logo, todas as três condições estão satisfeitas para qualquer
.
Resposta
Não: para todo valor positivo de
, o sistema continua estável (nunca fica instável).