Um processo aquecido eletricamente é conhecido por apresentar uma dinâmica de segunda ordem com os seguintes valores de parâmetros:
. Se o processo inicialmente está em estado estacionário a
com uma entrada do aquecedor de
, e a entrada do aquecedor é subitamente alterada para
e mantida nesse valor:
Qual será a temperatura máxima observada? Quando ela ocorrerá?
Qual será a temperatura máxima observada? Quando ela ocorrerá?
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é: a gente tem um processo de segunda ordem (aquele esquema clássico de sistemas com ζ e ωₙ) que aquece eletricamente. Sabemos que o ganho estático é K=3 °C/kW, a “constante de tempo” é τ=3 min e o amortecimento ζ=0.7. Ele estava em 70 °C com entrada 20 kW e, de repente, essa entrada pula para 26 kW. A pergunta é: qual vai ser o pico de temperatura e quando isso acontece?
Conteúdo: resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem. Vamos precisar da fórmula do overshoot máximo e do tempo de pico.
Conteúdo: resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem. Vamos precisar da fórmula do overshoot máximo e do tempo de pico.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a variação de entrada e a resposta em regime permanente.
- ΔU = 26 kW – 20 kW = 6 kW.
- Como o ganho estático é K=3 °C/kW, a variação final de temperatura é
- Logo, a temperatura em regime permanente sobe de 70 °C para
Passo 3
Agora vem a parte do overshoot (o “pulo” acima do novo equilíbrio). A fórmula padrão para o pico relativo de um sistema de segunda ordem é
Substituindo ζ=0.7:
Então o pico absoluto acima do novo equilíbrio é
Como o ponto de partida era 70 °C, o valor máximo fica
Passo 4
Falta achar quando esse pico rola, ou seja, o tempo de pico
sendo
. Logo
Resposta
A temperatura máxima será cerca de 88,8 °C e ela ocorrerá em torno de 13,2 minutos após o degrau.