Um processo aquecido eletricamente é conhecido por apresentar uma dinâmica de segunda ordem com os seguintes valores de parâmetros: K=3^circ C / K W, tau=3 min, zeta=0.7. Se o processo inicialmente está em estado estacionário a 70^circ C com uma entrada do aquecedor de 20 k W, e a entrada do aquecedor é subitamente alterada para 26 k W e mantida nesse valor:
Qual será a temperatura máxima observada? Quando ela ocorrerá?

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é: a gente tem um processo de segunda ordem (aquele esquema clássico de sistemas com ζ e ωₙ) que aquece eletricamente. Sabemos que o ganho estático é K=3 °C/kW, a “constante de tempo” é τ=3 min e o amortecimento ζ=0.7. Ele estava em 70 °C com entrada 20 kW e, de repente, essa entrada pula para 26 kW. A pergunta é: qual vai ser o pico de temperatura e quando isso acontece?
Conteúdo: resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem. Vamos precisar da fórmula do overshoot máximo e do tempo de pico.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a variação de entrada e a resposta em regime permanente.
  1. ΔU = 26 kW – 20 kW = 6 kW.
  2. Como o ganho estático é K=3 °C/kW, a variação final de temperatura é
ΔTinfty = K,ΔU = 3;°CkWtimes 6;kW = 18;°C
  1. Logo, a temperatura em regime permanente sobe de 70 °C para
Tinfty = 70;°C + 18;°C = 88;°C

Passo 3

Agora vem a parte do overshoot (o “pulo” acima do novo equilíbrio). A fórmula padrão para o pico relativo de um sistema de segunda ordem é
Mp = e^-zetapiraiz1-zeta^2,
Substituindo ζ=0.7:
Mp = exp!l(-0.7,piraiz1-0.7^2r) = exp!l(-0.7,piraiz0.51r) approx 0.046;(4,6%)
Então o pico absoluto acima do novo equilíbrio é
ΔTpico = ΔTinfty,(1+Mp) = 18;(1+0.046)approx 18,83;°C
Como o ponto de partida era 70 °C, o valor máximo fica
Tmáx = 70;°C + 18,83;°C = 88,83;°C á

Passo 4

Falta achar quando esse pico rola, ou seja, o tempo de pico
tp = piomeganraiz1-zeta^2,,
sendo tp = pi(1/3),raiz1-0.7^2 = pitfrac13times0.714 approx 13,2;min . Logo

Resposta

A temperatura máxima será cerca de 88,8 °C e ela ocorrerá em torno de 13,2 minutos após o degrau.

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