Considere a seguinte parametrização da esfera de equação "
":
dada por
.
Seja
.
(a) Encontre os parâmetros
onde se tem
.
(b) Onde se tem
aponta para dentro ou para fora da esfera?
Seja
(a) Encontre os parâmetros
(b) Onde se tem
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da esfera unitária
Define-se o vetor normal (não normalizado)
As perguntas são:
(a) encontrar todos os pares onde
;
(b) nos pontos em que , dizer se
aponta para dentro ou para fora da esfera.
Domínio: .
(a) encontrar todos os pares
(b) nos pontos em que
Domínio:
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais. Lembrete rápido:
é a taxa de variação de
quando
muda mantendo
fixo;
é análogo trocando
.
Calculemos componente a componente:
Como
é tratado como constante ao derivar em
e
não depende de
,
Agora
:
Passo 3
Explicando o produto vetorial: se
e
então
Aplicando com
e
. Denotando
e
, obtemos cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Terceira componente:
Fatorando
e usando
,
Portanto
Passo 4
Fatorando o vetor
vemos uma forma elegante. Observe que
. Então
Isto simplifica muito a análise.
Passo 5
(a) Para
precisamos que
. Como
é o vetor posição sobre a esfera unitária, tem norma
para todo
; logo
. Assim a condição é
. Portanto
Nesses dois valores de
o resultado é zero para qualquer
(o valor de
é irrelevante nos polos).
Passo 6
(b) Nos pontos onde
temos
e então
. Como
, o vetor
é um múltiplo negativo do vetor posição
. O vetor posição
aponta radialmente para fora (do centro da esfera para a superfície). Logo
aponta na direção oposta, isto é, para dentro da esfera (direção radial entrando para o centro).
Complemento útil: a norma de
é
o que mostra que no equador
o vetor normal tem norma
, e nos polos
a norma é zero (colapso da parametrização).
Resposta
(a)
ou
(qualquer
).
(b) Para tem
e
aponta para dentro da esfera.
(b) Para