Considere a seguinte parametrização da esfera de equação " x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 ":
\Gamma:[0,2 \pi] \times[0, \pi] \longrightarrow R^{3}
dada por \Gamma(\theta, \varphi)=(\cos \theta \sin \varphi, \sin \theta \sin \varphi, \cos \varphi).
Seja N(\Gamma(\theta, \varphi))=\frac{\partial \Gamma}{\partial \theta} \times \frac{\partial \Gamma}{\partial \varphi}.
(a) Encontre os parâmetros (\theta, \varphi) onde se tem N(\Gamma(\theta, \varphi))=0.
(b) Onde se tem N(\Gamma(\theta, \varphi)) \neq 0, N aponta para dentro ou para fora da esfera?

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da esfera unitária
\Gamma:[0,2\pi]\times[0,\pi]\to\mathbb{R}^3,\qquad \Gamma(\theta,\varphi)=(\cos\theta\sin\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\varphi).
Define-se o vetor normal (não normalizado)
N(\Gamma(\theta,\varphi))=\frac{\partial\Gamma}{\partial\theta}\times\frac{\partial\Gamma}{\partial\varphi}.
As perguntas são:
(a) encontrar todos os pares (\theta,\varphi) onde N(\Gamma(\theta,\varphi))=0;
(b) nos pontos em que N(\Gamma(\theta,\varphi))\neq0, dizer se N aponta para dentro ou para fora da esfera.
Domínio: \theta\in[0,2\pi],\;\varphi\in[0,\pi].

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais. Lembrete rápido: \partial\Gamma/\partial\theta é a taxa de variação de \Gamma quando \theta muda mantendo \varphi fixo; \partial\Gamma/\partial\varphi é análogo trocando \varphi.
Calculemos componente a componente:
\frac{\partial\Gamma}{\partial\theta}=\left(\frac{\partial}{\partial\theta}(\cos\theta\sin\varphi),\;\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\sin\varphi),\;\frac{\partial}{\partial\theta}(\cos\varphi)\right).
Como \sin\varphi é tratado como constante ao derivar em \theta e \cos\varphi não depende de \theta,
\frac{\partial\Gamma}{\partial\theta}=(-\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\theta\sin\varphi,\;0).
Agora \partial\Gamma/\partial\varphi:
\frac{\partial\Gamma}{\partial\varphi}=(\cos\theta\cos\varphi,\;\sin\theta\cos\varphi,\;-\sin\varphi).

Passo 3

Explicando o produto vetorial: se a=(a_1,a_2,a_3) e b=(b_1,b_2,b_3) então
a\times b=(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1).
Aplicando com a=\partial\Gamma/\partial\theta e b=\partial\Gamma/\partial\varphi. Denotando a_1=-\sin\theta\sin\varphi,\;a_2=\cos\theta\sin\varphi,\;a_3=0 e b_1=\cos\theta\cos\varphi,\;b_2=\sin\theta\cos\varphi,\;b_3=-\sin\varphi, obtemos cada componente:
Primeira componente:
a_2 b_3 - a_3 b_2 = \cos\theta\sin\varphi\cdot(-\sin\varphi)-0 = -\cos\theta\sin^2\varphi.
Segunda componente:
a_3 b_1 - a_1 b_3 = 0 - (-\sin\theta\sin\varphi)(-\sin\varphi) = -\sin\theta\sin^2\varphi.
Terceira componente:
a_1 b_2 - a_2 b_1 = (-\sin\theta\sin\varphi)(\sin\theta\cos\varphi) - (\cos\theta\sin\varphi)(\cos\theta\cos\varphi).
Fatorando -\sin\varphi\cos\varphi e usando \sin^2\theta+\cos^2\theta=1,
a_1 b_2 - a_2 b_1 = -\sin\varphi\cos\varphi.
Portanto
N(\Gamma(\theta,\varphi))=\left(-\cos\theta\sin^2\varphi,\; -\sin\theta\sin^2\varphi,\; -\sin\varphi\cos\varphi\right).

Passo 4

Fatorando o vetor N vemos uma forma elegante. Observe que \Gamma(\theta,\varphi)=(\cos\theta\sin\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\varphi). Então
N(\Gamma(\theta,\varphi))=-\sin\varphi\;(\cos\theta\sin\varphi,\;\sin\theta\sin\varphi,\;\cos\varphi)=-\sin\varphi\;\Gamma(\theta,\varphi).
Isto simplifica muito a análise.

Passo 5

(a) Para N(\Gamma(\theta,\varphi))=0 precisamos que -\sin\varphi\;\Gamma(\theta,\varphi)=0. Como \Gamma(\theta,\varphi) é o vetor posição sobre a esfera unitária, tem norma 1 para todo (\theta,\varphi); logo \Gamma(\theta,\varphi)\neq0. Assim a condição é \sin\varphi=0. Portanto
\sin\varphi=0\quad\Longrightarrow\quad \varphi=0\\ \text{ou}\\ \varphi=\pi.
Nesses dois valores de \varphi o resultado é zero para qualquer \theta (o valor de \theta é irrelevante nos polos).

Passo 6

(b) Nos pontos onde N\neq0 temos \varphi\in(0,\pi) e então \sin\varphi>0. Como N=-\sin\varphi\,\Gamma, o vetor N é um múltiplo negativo do vetor posição \Gamma. O vetor posição \Gamma(\theta,\varphi) aponta radialmente para fora (do centro da esfera para a superfície). Logo N aponta na direção oposta, isto é, para dentro da esfera (direção radial entrando para o centro).
Complemento útil: a norma de N é
\|N(\Gamma(\theta,\varphi))\|=\sin\varphi,
o que mostra que no equador \varphi=\tfrac{\pi}{2} o vetor normal tem norma 1, e nos polos \varphi=0,\pi a norma é zero (colapso da parametrização).

Resposta

(a) \varphi=0 ou \varphi=\pi (qualquer \theta).
(b) Para \varphi\in(0,\pi) tem N(\Gamma(\theta,\varphi))\neq0 e N aponta para dentro da esfera.

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