Calcule cada um dos limites abaixo, caso exista(m) e justifique caso não exista(m). \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \operatorname{sen} x.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\operatorname{sen} x.
Informações dadas e o que se busca:
A função envolvida é f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}.
Queremos saber se o limite existe quando x tende para +\infty e, em caso afirmativo, qual é o valor.
Passo 2
Uma propriedade fundamental que vamos usar é que a função seno é limitada: para todo x\in\mathbb{R} vale
-1 \le \operatorname{sen} x \le 1.
Explicando devagar: o seno de qualquer ângulo nunca sai do intervalo [-1,1] — é uma propriedade básica da função trigonométrica seno.
Passo 3
Como estamos estudando x\to\infty, para x suficientemente grande temos x>0. Dividindo a desigualdade do passo anterior por x>0 (essa divisão preserva a desigualdade), obtemos
Raciocínio simples: conforme x cresce sem limite, \dfrac{1}{x} tende a 0, logo tanto -\dfrac{1}{x} quanto \dfrac{1}{x} tendem a 0.
Passo 5
Aplicamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche): se para todo x grande vale g(x)\le f(x)\le h(x) e \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=L, então \lim_{x\to\infty}f(x)=L. Aqui temos g(x)=-\dfrac{1}{x}, f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}, h(x)=\dfrac{1}{x} e ambos os limites das extremas são 0. Pelo Teorema do Confronto,