Calcule cada um dos limites abaixo, caso exista(m) e justifique caso não exista(m).
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \operatorname{sen} x.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\operatorname{sen} x.
Informações dadas e o que se busca:
  • A função envolvida é f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}.
  • Queremos saber se o limite existe quando x tende para +\infty e, em caso afirmativo, qual é o valor.

Passo 2

Uma propriedade fundamental que vamos usar é que a função seno é limitada: para todo x\in\mathbb{R} vale
-1 \le \operatorname{sen} x \le 1.
Explicando devagar: o seno de qualquer ângulo nunca sai do intervalo [-1,1] — é uma propriedade básica da função trigonométrica seno.

Passo 3

Como estamos estudando x\to\infty, para x suficientemente grande temos x>0. Dividindo a desigualdade do passo anterior por x>0 (essa divisão preserva a desigualdade), obtemos
-\frac{1}{x} \le \frac{\operatorname{sen} x}{x} \le \frac{1}{x}.
Esta cadeia de desigualdades coloca \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} entre duas funções mais simples.

Passo 4

Agora calcule as limites das funções que estão nas extremidades:
\lim_{x\to\infty}\left(-\frac{1}{x}\right)=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Raciocínio simples: conforme x cresce sem limite, \dfrac{1}{x} tende a 0, logo tanto -\dfrac{1}{x} quanto \dfrac{1}{x} tendem a 0.

Passo 5

Aplicamos o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche): se para todo x grande vale g(x)\le f(x)\le h(x) e \lim_{x\to\infty}g(x)=\lim_{x\to\infty}h(x)=L, então \lim_{x\to\infty}f(x)=L. Aqui temos g(x)=-\dfrac{1}{x}, f(x)=\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}, h(x)=\dfrac{1}{x} e ambos os limites das extremas são 0. Pelo Teorema do Confronto,
\lim_{x\to\infty}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=0.

Passo 6

(Argumento alternativo — prova \varepsilon- N, para quem gosta de rigor.) Note que
\left|\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right|\le\frac{1}{x}.
Dado \varepsilon>0, escolha N>\dfrac{1}{\varepsilon}. Então, para todo x>N tem \dfrac{1}{x}<\varepsilon e daí
\left|\frac{\operatorname{sen} x}{x}-0\right|=\left|\frac{\operatorname{sen} x}{x}\right|\le\frac{1}{x}<\varepsilon.
Isso mostra diretamente que \lim_{x\to\infty}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}=0.

Passo 7

Conclusão clara e animadora: a oscilação do \operatorname{sen} x fica “amortecida” pelo fator 1/x que vai a zero; por isso o produto tende a zero.

Resposta

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