Considere a função:
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{3}-x^{2}-b x}{x-2}, & \text { se } x<2, \\\\ 4, & \text { se } x=2, \\\ a x^{2}-b x+2, & \text { se } x>2 .\end{cases}
(a) É possível encontrar valores para a e b de forma que exista \lim _{x \rightarrow 2} f(x) ?
(b) E para que f seja contínua em 2?

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{3}-x^{2}-b x}{x-2}, & \text{se } x<2, \\[4pt] 4, & \text{se } x=2, \\[4pt] a x^{2}-b x+2, & \text{se } x>2,\end{cases}
e pede duas coisas:
  • (a) Se é possível escolher a e b de modo que exista \lim_{x\to 2} f(x).
  • (b) Se é possível escolher a e b de modo que f seja contínua em 2.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão para x<2 é uma função racional com denominador x-2.
  • O valor de f em x=2 é 4.
  • A expressão para x>2 é o polinômio a x^{2}-b x+2.]

Passo 2

Entendendo o que significa existir \lim_{x\to 2}f(x). Para que \lim_{x\to 2}f(x) exista (e seja finito) é necessário e suficiente que os limites laterais existam e sejam iguais:
\lim_{x\to 2^-}f(x)=\lim_{x\to 2^+}f(x).
Vamos calcular cada um. Primeiro o limite pela esquerda \lim_{x\to 2^-}\dfrac{x^{3}-x^{2}-b x}{x-2}. Observação técnica importante (regra prática):
  • Se o denominador tende a 0 e o numerador tende a um número diferente de 0, o limite é infinito (ou não existe como número real).
  • Para obter um limite finito ao cancelar o fator que zera o denominador, é preciso que o numerador também seja zero em x=2 (situação de fator comum x-2 no numerador).
Portanto, calculemos o numerador em x=2:
\text{numerador em }2: \; 2^{3}-2^{2}-b\cdot2 = 8-4-2b = 4-2b.
Para que o numerador seja zero em x=2 (e assim possibilitar um limite finito), devemos ter
4-2b=0 \quad\Rightarrow\quad b=2.

Passo 3

Supondo b=2, simplificamos a expressão da parte x<2. Substituindo b=2 no numerador:
x^{3}-x^{2}-2x.
Fatorando passo a passo:
x^{3}-x^{2}-2x = x\bigl(x^{2}-x-2\bigr).
O quadrático x^{2}-x-2 fatoriza como (x-2)(x+1). Logo
x^{3}-x^{2}-2x = x(x-2)(x+1).
Dividindo pelo denominador x-2 (para x\neq 2) obtemos
\frac{x^{3}-x^{2}-2x}{x-2} = x(x+1) = x^{2}+x.
Assim, com b=2 a função à esquerda se reduz a x^{2}+x para x<2, e o limite pela esquerda é
\lim_{x\to 2^-}f(x) = \lim_{x\to 2} (x^{2}+x) = 2^{2}+2 = 4+2 = 6.

Passo 4

Agora o limite pela direita. Para x>2 temos f(x)=a x^{2}-b x+2, então
\lim_{x\to 2^+}f(x) = a\cdot 2^{2} - b\cdot 2 + 2 = 4a - 2b + 2.
Para que o limite bilateral exista precisamos que os dois limites laterais sejam iguais. Já vimos que, para o limite pela esquerda ser finito, devemos ter b=2 e então \lim_{x\to 2^-}f(x)=6. Portanto devemos ter
6 = 4a - 2b + 2.
Substituindo b=2:
6 = 4a - 4 + 2 \quad\Rightarrow\quad 6 = 4a - 2 \quad\Rightarrow\quad 4a = 8 \quad\Rightarrow\quad a = 2.
Conclusão: existe \lim_{x\to 2}f(x) exatamente quando b=2 e a=2. Esse par é único, porque se b\neq 2 a parte da esquerda tende para infinito (ou não existe como número real) e não há forma de igualar a parte da direita.

Passo 5

Agora verificação da continuidade em x=2. Para f ser contínua em 2 é preciso que
\lim_{x\to 2} f(x) = f(2).
Temos f(2)=4. Do passo anterior, o único par (a,b) que faz o limite existir é a=2,\; b=2, e para esse par o valor do limite é 6. Como 6\neq 4, não existe nenhum par (a,b) que faça \lim_{x\to 2}f(x)=4. Portanto não é possível tornar f contínua em 2 escolhendo a e b.

Resposta

(a) (a,b)=(2,2)\n
(b) Não existe nenhum par (a,b) que torne f contínua em 2.

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