(a) Utilize o método de separação de variáveis u(x, t)=X(x) T(t) para obter as equações diferenciais ordinárias para X(x) e T(t).
(b) Determine os autovalores \mu_{n} e as autofunções X_{n}(x) do problema espacial, satisfazendo as condições de contorno de isolamento em x=0\left(u_{x}=0\right) e temperatura nula em x=\pi(u=0).
(c) Encontre a solução geral u(x, t) na forma de uma série de Fourier.
(d) Se a condição inicial for dada por
O enunciado dá a equação de condução com termo de reação numa haste de comprimento \pi\):
\[\begin{cases} u_{t}(x,t)=u_{xx}(x,t)+3u(x,t), & 0<x<\pi,\\ t>0,\\[4pt] u_x(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0, & t>0,\\[4pt] u(x,0)=h(x), & 0<x<\pi. \end{cases}
Pedidos:
(a) usar separação de variáveis u(x,t)=X(x)T(t)\] e obter as EDOs para \(X e T;
(b) determinar os autovalores \mu_n e as autofunções X_n(x) do problema espacial que satisfazem X'(0)=0 e X(\pi)=0;
(c) escrever a solução geral u(x,t) como série de Fourier em termos dessas autofunções;
(d) para h(x)=3+4\cos(3\pi x)-5\cos(5\pi x)+17\cos(10\pi x), obter a solução particular u(x,t).
Listei o que o problema pede e as condições dadas; a partir do Passo 2 começamos a resolver.]
Passo 2
Aplicando separação de variáveis: suponha
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE:
X(x)T'(t)=X''(x)T(t)+3X(x)T(t).
Dividindo por X(x)T(t) (assumindo X e T não identicamente nulos):
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}+3.
O lado esquerdo depende apenas de t e o lado direito apenas de x, logo ambos são iguais a uma constante de separação. Escolhemos chamar essa constante de -\mu (poderia-se usar outro sinal; a escolha a seguir é convencional):
Comentário didático rápido: a constante \mu é o autovalor associado ao problema espacial; as soluções não-triviais só aparecem para certos valores \mu que satisfazem as condições de contorno de X.
Passo 3
Resolver o problema espacial com as condições de contorno
X''(x)+\mu X(x)=0,\qquad X'(0)=0,\\ X(\pi)=0.
Estudamos três casos para \mu.
Caso 1: \mu=0. Então X''=0 e X(x)=A x+B. A condição X'(0)=A=0 dá X(x)=B constante. A condição X(\pi)=B=0 força B=0, solução trivial. Portanto \mu=0 não é autovalor.
Caso 2: \mu<0. Escreva \mu=-\kappa^2 com \kappa>0. A equação é X''-\kappa^2 X=0 e a solução geral é X(x)=A e^{\kappa x}+B e^{-\kappa x}. A condição X'(0)=\kappa(A-B)=0 implica A=B, então X(x)=2A\operatorname{cosh}(\kappa x). A condição X(\pi)=2A\operatorname{cosh}(\kappa\pi)=0 obriga A=0 porque \operatorname{cosh}>0. Logo só a solução trivial — não há autovalores negativos.
Caso 3: \mu>0. Escreva \mu=\alpha^2 com \alpha>0. A equação é
X''+\alpha^2 X=0
e a solução geral é
X(x)=A\cos(\alpha x)+B\sin(\alpha x).
A condição X'(0)=0 dá X'(0)=-A\alpha\sin0 + B\alpha\cos0 = B\alpha = 0, logo B=0. Assim X(x)=A\cos(\alpha x). A condição X(\pi)=0 exige
A\cos(\alpha\pi)=0.
Para solução não-trivial A\neq0 precisamos \cos(\alpha\pi)=0, ou seja
Isto permite expandir funções em série desta base ortogonal.
Passo 4
Resolver a EDO temporal e montar solução geral (item (c)).
A equação temporal obtida foi
T'(t)=(3-\mu)T(t).
Para cada autovalor \mu_n a solução é T_n(t)=e^{(3-\mu_n)t} (constante multiplicativa absorvida nos coeficientes da série). Assim a solução por expansão em autovetores é
Comentário didático: a razão do fator 2/\pi é a norma das autofunções, já mencionada — como \int_0^\pi \cos^2(\alpha_n x)\,dx=\pi/2, ao projetar obtemos a_n=(1/(\pi/2))\int h X_n=\dfrac{2}{\pi}\int h X_n.
Passo 5
Agora (item (d)) aplicamos a fórmula dos coeficientes ao h(x) dado:
Aplicando com A=k\pi (k=3,5,10 conforme o termo) e B=\alpha_n, obtemos fórmulas explícitas (embora não simplificadas para valores particulares de n). Assim, para k\in\{3,5,10\},
Note que em casos especiais em que k\pi=\alpha_n a fórmula acima teria divisão por zero; nesse caso usa-se a fórmula limite que dá \int_0^\pi \cos^2(\alpha_n x)\,dx=\pi/2. (Aqui isso não ocorre porque \alpha_n não é um múltiplo inteiro de \pi.)
Finalmente a solução particular u(x,t) para essa condição inicial é a série
com a_n=a_n^{(0)}+a_n^{(1)}+a_n^{(2)}+a_n^{(3)} dados pelas fórmulas acima.
Passo 6
Resumo prático para prova:
Separe com u=X(x)T(t), escolha a constante de separação convenientemente para obter X''+\mu X=0 e T'=(3-\mu)T.
Resolva o problema espacial verificando os três casos \mu<0,=0,>0; só \mu>0 dá autovalores não-triviais aqui.
Use a ortogonalidade das autofunções para calcular os coeficientes a_n por projeção.
No caso de uma condição inicial dada em soma de cossenos, calcule cada integral separadamente (o termo constante dá uma expressão simples com \sin(\alpha_n\pi); produtos de cossenos usam a identidade que dei).
Força aí — essa é a receita de como montar a solução passo a passo na prova. Se quiser eu posso calcular explicitamente os primeiros coeficientes a_0,a_1,a_2 numéricos para conferir comportamento temporal (decai ou cresce dependendo do expoente 3-\alpha_n^2). Boa sorte!