Considere o seguinte problema de condução de calor em uma haste de comprimento \pi :
\left\{\begin{array}{l} u_{t}(x, t)=u_{x x}(x, t)+3 u(x, t), \quad 0<x<\pi, t>0, \\\ u_{x}(0, t)=0, u(\pi, t)=0, \quad t>0, \\\ u(x, 0)=h(x), \quad 0<x<\pi \end{array}\right.

Pede-se:

(a) Utilize o método de separação de variáveis u(x, t)=X(x) T(t) para obter as equações diferenciais ordinárias para X(x) e T(t).
(b) Determine os autovalores \mu_{n} e as autofunções X_{n}(x) do problema espacial, satisfazendo as condições de contorno de isolamento em x=0\left(u_{x}=0\right) e temperatura nula em x=\pi(u=0).
(c) Encontre a solução geral u(x, t) na forma de uma série de Fourier.
(d) Se a condição inicial for dada por
h(x)=3+4 \cos (3 \pi x)-5 \cos (5 \pi x)+17 \cos (10 \pi x),
determine a solução particular u(x, t).

Passo 1

O enunciado dá a equação de condução com termo de reação numa haste de comprimento \pi\): \[\begin{cases} u_{t}(x,t)=u_{xx}(x,t)+3u(x,t), & 0<x<\pi,\\ t>0,\\[4pt] u_x(0,t)=0,\quad u(\pi,t)=0, & t>0,\\[4pt] u(x,0)=h(x), & 0<x<\pi. \end{cases}
Pedidos:
(a) usar separação de variáveis u(x,t)=X(x)T(t)\] e obter as EDOs para \(X e T;
(b) determinar os autovalores \mu_n e as autofunções X_n(x) do problema espacial que satisfazem X'(0)=0 e X(\pi)=0;
(c) escrever a solução geral u(x,t) como série de Fourier em termos dessas autofunções;
(d) para h(x)=3+4\cos(3\pi x)-5\cos(5\pi x)+17\cos(10\pi x), obter a solução particular u(x,t).
Listei o que o problema pede e as condições dadas; a partir do Passo 2 começamos a resolver.]

Passo 2

Aplicando separação de variáveis: suponha
u(x,t)=X(x)\,T(t).
Substituindo na PDE:
X(x)T'(t)=X''(x)T(t)+3X(x)T(t).
Dividindo por X(x)T(t) (assumindo X e T não identicamente nulos):
\frac{T'(t)}{T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}+3.
O lado esquerdo depende apenas de t e o lado direito apenas de x, logo ambos são iguais a uma constante de separação. Escolhemos chamar essa constante de -\mu (poderia-se usar outro sinal; a escolha a seguir é convencional):
\frac{T'(t)}{T(t)}=-\mu,\qquad \frac{X''(x)}{X(x)}+3=-\mu.
Rearranjando obtemos as EDOs separadas (resposta do item (a)):
\boxed{X''(x)+\mu\,X(x)=0,} \qquad \boxed{T'(t)=(3-\mu)\,T(t).}
Comentário didático rápido: a constante \mu é o autovalor associado ao problema espacial; as soluções não-triviais só aparecem para certos valores \mu que satisfazem as condições de contorno de X.

Passo 3

Resolver o problema espacial com as condições de contorno
X''(x)+\mu X(x)=0,\qquad X'(0)=0,\\ X(\pi)=0.
Estudamos três casos para \mu.
Caso 1: \mu=0. Então X''=0 e X(x)=A x+B. A condição X'(0)=A=0 X(x)=B constante. A condição X(\pi)=B=0 força B=0, solução trivial. Portanto \mu=0 não é autovalor.
Caso 2: \mu<0. Escreva \mu=-\kappa^2 com \kappa>0. A equação é X''-\kappa^2 X=0 e a solução geral é X(x)=A e^{\kappa x}+B e^{-\kappa x}. A condição X'(0)=\kappa(A-B)=0 implica A=B, então X(x)=2A\operatorname{cosh}(\kappa x). A condição X(\pi)=2A\operatorname{cosh}(\kappa\pi)=0 obriga A=0 porque \operatorname{cosh}>0. Logo só a solução trivial — não há autovalores negativos.
Caso 3: \mu>0. Escreva \mu=\alpha^2 com \alpha>0. A equação é
X''+\alpha^2 X=0
e a solução geral é
X(x)=A\cos(\alpha x)+B\sin(\alpha x).
A condição X'(0)=0 X'(0)=-A\alpha\sin0 + B\alpha\cos0 = B\alpha = 0, logo B=0. Assim X(x)=A\cos(\alpha x). A condição X(\pi)=0 exige
A\cos(\alpha\pi)=0.
Para solução não-trivial A\neq0 precisamos \cos(\alpha\pi)=0, ou seja
\alpha\pi=\frac{(2n+1)\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad \alpha=\frac{2n+1}{2},\qquad n=0,1,2,\dots
Portanto os autovalores espaciais são
\boxed{\mu_n=\left(\frac{2n+1}{2}\right)^{\!2},\qquad n=0,1,2,\dots}
e as correspondentes autofunções (tomando A=1 para ter forma simples) são
\boxed{X_n(x)=\cos\!\left(\frac{2n+1}{2}\,x\right),\qquad n=0,1,2,\dots}
Observação sobre ortogonalidade e norma: para \alpha_n=\dfrac{2n+1}{2} vale
\int_{0}^{\pi} \cos^2(\alpha_n x)\,dx=\frac{\pi}{2},
pois \sin(2\alpha_n\pi)=\sin((2n+1)\pi)=0. E para m\neq n,
\int_{0}^{\pi}\cos(\alpha_n x)\cos(\alpha_m x)\,dx=0.
Isto permite expandir funções em série desta base ortogonal.

Passo 4

Resolver a EDO temporal e montar solução geral (item (c)).
A equação temporal obtida foi
T'(t)=(3-\mu)T(t).
Para cada autovalor \mu_n a solução é T_n(t)=e^{(3-\mu_n)t} (constante multiplicativa absorvida nos coeficientes da série). Assim a solução por expansão em autovetores é
\boxed{u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,e^{(3-\mu_n)t}\,X_n(x) =\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,e^{\bigl(3-\left(\tfrac{2n+1}{2}\right)^{\!2}\bigr)t}\, \cos\!\left(\frac{2n+1}{2}\,x\right),}
onde os coeficientes a_n são determinados pela condição inicial u(x,0)=h(x) através da projeção ortogonal:
\boxed{a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} h(x)\, \cos\!\left(\frac{2n+1}{2}\,x\right)\,dx.}
Comentário didático: a razão do fator 2/\pi é a norma das autofunções, já mencionada — como \int_0^\pi \cos^2(\alpha_n x)\,dx=\pi/2, ao projetar obtemos a_n=(1/(\pi/2))\int h X_n=\dfrac{2}{\pi}\int h X_n.

Passo 5

Agora (item (d)) aplicamos a fórmula dos coeficientes ao h(x) dado:
h(x)=3+4\cos(3\pi x)-5\cos(5\pi x)+17\cos(10\pi x).
Por linearidade, cada termo contribui separadamente para a_n. Denotando \alpha_n=\dfrac{2n+1}{2}, temos
a_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi h(x)\cos(\alpha_n x)\,dx = a_n^{(0)} + a_n^{(1)} + a_n^{(2)} + a_n^{(3)},
onde
a_n^{(0)}=\frac{2}{\pi}\cdot 3\int_0^\pi\cos(\alpha_n x)\,dx,
a_n^{(1)}=\frac{2}{\pi}\cdot 4\int_0^\pi\cos(3\pi x)\cos(\alpha_n x)\,dx,
a_n^{(2)}=\frac{2}{\pi}\cdot (-5)\int_0^\pi\cos(5\pi x)\cos(\alpha_n x)\,dx,
a_n^{(3)}=\frac{2}{\pi}\cdot 17\int_0^\pi\cos(10\pi x)\cos(\alpha_n x)\,dx.
Calculemos o termo constante (é simples e útil):
\int_0^\pi\cos(\alpha_n x)\,dx=\left.\frac{\sin(\alpha_n x)}{\alpha_n}\right|_{0}^{\pi} =\frac{\sin(\alpha_n\pi)}{\alpha_n}.
Como \alpha_n\pi=\dfrac{2n+1}{2}\pi temos \sin(\alpha_n\pi)=\sin\!\bigl(\tfrac{2n+1}{2}\pi\bigr)=(-1)^n. Logo
\boxed{a_n^{(0)}=\frac{6}{\pi}\cdot\frac{(-1)^n}{\alpha_n}=\frac{6(-1)^n}{\pi\,\alpha_n}.}
Para os termos com produto de cossenos usamos a identidade (caso A\neq B):
\int_0^\pi \cos(Ax)\cos(Bx)\,dx =\frac{\sin((A-B)\pi)}{2(A-B)}+\frac{\sin((A+B)\pi)}{2(A+B)}.
Aplicando com A=k\pi ( k=3,5,10 conforme o termo) e B=\alpha_n, obtemos fórmulas explícitas (embora não simplificadas para valores particulares de n). Assim, para k\in\{3,5,10\},
\int_0^\pi \cos(k\pi x)\cos(\alpha_n x)\,dx =\frac{\sin((k\pi-\alpha_n)\pi)}{2(k\pi-\alpha_n)}+\frac{\sin((k\pi+\alpha_n)\pi)}{2(k\pi+\alpha_n)}.
Portanto os coeficientes dos outros termos são, explicitamente,
\boxed{% a_n^{(1)}=\frac{8}{\pi}\left(\frac{\sin((3\pi-\alpha_n)\pi)}{2(3\pi-\alpha_n)}+\frac{\sin((3\pi+\alpha_n)\pi)}{2(3\pi+\alpha_n)}\right) =\frac{4}{\pi}\!\left(\frac{\sin((3\pi-\alpha_n)\pi)}{3\pi-\alpha_n}+\frac{\sin((3\pi+\alpha_n)\pi)}{3\pi+\alpha_n}\right) }
\boxed{% a_n^{(2)}=-\frac{10}{\pi}\left(\frac{\sin((5\pi-\alpha_n)\pi)}{5\pi-\alpha_n}+\frac{\sin((5\pi+\alpha_n)\pi)}{5\pi+\alpha_n}\right) }
\boxed{% a_n^{(3)}=\frac{34}{\pi}\left(\frac{\sin((10\pi-\alpha_n)\pi)}{10\pi-\alpha_n}+\frac{\sin((10\pi+\alpha_n)\pi)}{10\pi+\alpha_n}\right) }
Note que em casos especiais em que k\pi=\alpha_n a fórmula acima teria divisão por zero; nesse caso usa-se a fórmula limite que dá \int_0^\pi \cos^2(\alpha_n x)\,dx=\pi/2. (Aqui isso não ocorre porque \alpha_n não é um múltiplo inteiro de \pi.)
Finalmente a solução particular u(x,t) para essa condição inicial é a série
\boxed{% u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,e^{\bigl(3-\alpha_n^{2}\bigr)t}\, \cos(\alpha_n x),\qquad \alpha_n=\frac{2n+1}{2}, }
com a_n=a_n^{(0)}+a_n^{(1)}+a_n^{(2)}+a_n^{(3)} dados pelas fórmulas acima.

Passo 6

Resumo prático para prova:
  • Separe com u=X(x)T(t), escolha a constante de separação convenientemente para obter X''+\mu X=0 e T'=(3-\mu)T.
  • Resolva o problema espacial verificando os três casos \mu<0,=0,>0; só \mu>0 dá autovalores não-triviais aqui.
  • Use a ortogonalidade das autofunções para calcular os coeficientes a_n por projeção.
  • No caso de uma condição inicial dada em soma de cossenos, calcule cada integral separadamente (o termo constante dá uma expressão simples com \sin(\alpha_n\pi); produtos de cossenos usam a identidade que dei).
Força aí — essa é a receita de como montar a solução passo a passo na prova. Se quiser eu posso calcular explicitamente os primeiros coeficientes a_0,a_1,a_2 numéricos para conferir comportamento temporal (decai ou cresce dependendo do expoente 3-\alpha_n^2). Boa sorte!

Resposta

(a) X''(x)+\mu X(x)=0,\qquad T'(t)=(3-\mu)T(t).
(b) \displaystyle \mu_n=\left(\frac{2n+1}{2}\right)^{\!2},\qquad X_n(x)=\cos\!\left(\frac{2n+1}{2}\,x\right),\\ n=0,1,2,\dots.
(c) \displaystyle u(x,t)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,e^{\bigl(3-\left(\tfrac{2n+1}{2}\right)^{2}\bigr)t}\, \cos\!\left(\frac{2n+1}{2}\,x\right), com \displaystyle a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}h(x)\cos\!\left(\frac{2n+1}{2}x\right)\,dx.
(d) Para h(x)=3+4\cos(3\pi x)-5\cos(5\pi x)+17\cos(10\pi x) tem-se \alpha_n=\dfrac{2n+1}{2} e
a_n=a_n^{(0)}+a_n^{(1)}+a_n^{(2)}+a_n^{(3)},
com
a_n^{(0)}=\frac{6(-1)^n}{\pi\alpha_n},
a_n^{(1)}=\frac{4}{\pi}\!\left(\frac{\sin((3\pi-\alpha_n)\pi)}{3\pi-\alpha_n}+\frac{\sin((3\pi+\alpha_n)\pi)}{3\pi+\alpha_n}\right),
a_n^{(2)}=-\frac{5\cdot 2}{\pi}\!\left(\frac{\sin((5\pi-\alpha_n)\pi)}{5\pi-\alpha_n}+\frac{\sin((5\pi+\alpha_n)\pi)}{5\pi+\alpha_n}\right),
a_n^{(3)}=\frac{17\cdot 2}{\pi}\!\left(\frac{\sin((10\pi-\alpha_n)\pi)}{10\pi-\alpha_n}+\frac{\sin((10\pi+\alpha_n)\pi)}{10\pi+\alpha_n}\right),
e a solução particular é
\boxed{u(x,t)=\sum_{n=0}^\infty \bigl(a_n^{(0)}+a_n^{(1)}+a_n^{(2)}+a_n^{(3)}\bigr)\, e^{\bigl(3-\alpha_n^{2}\bigr)t}\cos(\alpha_n x).}

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