Resolva cada equação diferencial por variação de parâmetros. y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=e^{-t} \ln t
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+2y'+y=e^{-t}\ln t.
Informações dadas:
É uma equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
O termo não homogêneo (lado direito) é \,e^{-t}\ln t\,, que exige cuidado com o domínio: \ln t só está definido para t>0.
O pedido explícito é usar o método de variação de parâmetros para obter a solução geral.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Para uma raiz dupla -1 as soluções fundamentais da homogênea são
y_1(t)=e^{-t},\qquad y_2(t)=t e^{-t}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{-t}+C_2 t e^{-t},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos variação de parâmetros. A ideia é buscar uma solução particular na forma
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t),
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar. Impomos o sistema auxiliar clássico
\[\begin{cases} u_1'(t)y_1(t)+u_2'(t)y_2(t)=0,\\[4pt] u_1'(t)y_1'(t)+u_2'(t)y_2'(t)=g(t), \end{cases}
com g(t)\] sendo o termo não homogêneo dividido pelo coeficiente líder (aqui o coeficiente líder é \(1), logo g(t)=e^{-t}\ln t.]
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano das soluções fundamentais. Por definição,