resolva a equação diferencial de terceira ordem dada por variação de parâmetros.
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=\frac{e^{2 x}}{1+e^{x}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=\frac{e^{2x}}{1+e^{x}}
e pede para resolvê‑la (isto é, encontrar a solução geral). Informações relevantes fornecidas:
  • É uma EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • O lado direito é g(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}.
  • Devemos obter a solução geral y(x)=y_h(x)+y_p(x), onde y_h é a solução da homogênea e y_p uma solução particular.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+2y^{\prime}=0.
Assumimos y=e^{rx}. A equação característica é
r^3-3r^2+2r = r(r^2-3r+2)=0.
As raízes são r=0, r=1, r=2. Logo uma base de soluções da homogênea é
y_1(x)=1,\qquad y_2(x)=e^{x},\qquad y_3(x)=e^{2x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x},
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos pelo método da variação de parâmetros para terceira ordem. Procuramos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+u_3(x)y_3(x),
onde u_1,u_2,u_3\) são funções a determinar. Para reduzir o sistema diferencial para um sistema linear de 1ª ordem para \(u_i'\) impomos as condições (padrão na variação de parâmetros): \[\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 + u_3' y_3 = 0,\\[4pt] u_1' y_1' + u_2' y_2' + u_3' y_3' = 0,\\[4pt] u_1' y_1'' + u_2' y_2'' + u_3' y_3'' = g(x), \end{cases}
onde g(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}\]. Essas três equações determinam \(u_1',u_2',u_3'.
Explicação do porquê: ao impor as duas primeiras condições, eliminam‑se termos com u_i' nas expressões de y_p' e y_p'' que complicariam o cálculo; resta uma única equação com u_i' que corresponde exatamente ao lado direito g(x). É a forma usual do método para ordem 3.]

Passo 4

Calculamos derivadas das funções fundamentais:
\begin{aligned} y_1(x)&=1,\quad &y_1'(x)=0,\quad &y_1''(x)=0,\\\ y_2(x)&=e^{x},\quad &y_2'(x)=e^{x},\quad &y_2''(x)=e^{x},\\\ y_3(x)&=e^{2x},\quad &y_3'(x)=2e^{2x},\quad &y_3''(x)=4e^{2x}. \end{aligned}
Substituindo nas três equações do passo anterior obtemos o sistema para u_1',u_2',u_3':
\begin{cases} u_1' + e^{x} u_2' + e^{2x} u_3' = 0,\\[4pt] 0\cdot u_1' + e^{x} u_2' + 2e^{2x} u_3' = 0,\\[4pt] 0\cdot u_1' + e^{x} u_2' + 4e^{2x} u_3' = \dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}. \end{cases}]

Passo 5

Resolvemos o sistema passo a passo. Das segunda e terceira equações:
\begin{aligned} e^{x} u_2' + 2e^{2x} u_3' &= 0,\\[4pt] e^{x} u_2' + 4e^{2x} u_3' &= \dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}. \end{aligned}
Subtraindo a primeira da segunda das duas acima obtemos
(4e^{2x}-2e^{2x})u_3' = \dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}} \quad\Rightarrow\quad 2e^{2x} u_3' = \dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}.
Logo
u_3' = \dfrac{1}{2(1+e^{x})}.
Voltando em e^{x} u_2' + 2e^{2x} u_3' = 0 e substituindo u_3':
e^{x} u_2' + 2e^{2x}\cdot \dfrac{1}{2(1+e^{x})}=0 \quad\Rightarrow\quad e^{x} u_2' + \dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}=0.
Assim
u_2' = -\dfrac{e^{2x}}{e^{x}(1+e^{x})} = -\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Agora usamos a primeira equação u_1' + e^{x}u_2' + e^{2x}u_3' = 0. Substituindo u_2' e u_3':
u_1' + \big(e^{x}\cdot (-\tfrac{e^{x}}{1+e^{x}})\big) + \big(e^{2x}\cdot \tfrac{1}{2(1+e^{x})}\big)=0.
Calculemos o somatório dentro:
e^{x}u_2' + e^{2x}u_3' = -\dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}} + \dfrac{e^{2x}}{2(1+e^{x})} = -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}.
Portanto
u_1' = -\big(e^{x}u_2' + e^{2x}u_3'\big) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}.
Resumindo:
u_1'=\dfrac{e^{2x}}{2(1+e^{x})},\qquad u_2'=-\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}},\qquad u_3'=\dfrac{1}{2(1+e^{x})}.]

Passo 6

Integramos cada u_i' para obter u_i. Tomamos as constantes de integração iguais a zero (estas constantes corresponderiam a contribuições já incluídas na solução homogênea).
  1. Para u_2:
u_2 = \int -\dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.
Faça a substituição t=e^{x}, dt=e^{x}dx. Então
u_2 = -\int \dfrac{dt}{1+t} = -\ln(1+t) = -\ln(1+e^{x}).
  1. Para u_3:
u_3 = \dfrac{1}{2}\int \dfrac{dx}{1+e^{x}}.
Usando t=e^{x}, dx=dt/t:
\int \dfrac{dx}{1+e^{x}}=\int \dfrac{dt}{t(1+t)}=\int\Big(\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{1+t}\Big)dt = \ln t - \ln(1+t)=x-\ln(1+e^{x}).
Logo
u_3 = \dfrac{1}{2}\big(x-\ln(1+e^{x})\big).
  1. Para u_1:
u_1 = \dfrac{1}{2}\int \dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}\,dx.
Novamente, com t=e^{x}, dx=dt/t temos e^{2x}dx = t^2 (dt/t)= t\,dt. Assim
\int \dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}\,dx = \int \dfrac{t}{1+t}\,dt = \int\Big(1-\dfrac{1}{1+t}\Big)dt = t - \ln(1+t) = e^{x}-\ln(1+e^{x}).
Portanto
u_1 = \dfrac{1}{2}\big(e^{x}-\ln(1+e^{x})\big).

Passo 7

Agora montamos a solução particular y_p=u_1y_1+u_2y_2+u_3y_3. Substituindo:
\begin{aligned} y_p(x) &= u_1(x)\cdot 1 + u_2(x)\cdot e^{x} + u_3(x)\cdot e^{2x}\\[4pt] &= \dfrac{1}{2}\big(e^{x}-\ln(1+e^{x})\big) -\ln(1+e^{x})\cdot e^{x} +\dfrac{1}{2}\big(x-\ln(1+e^{x})\big)e^{2x}. \end{aligned}
Agrupando termos e simplificando os termos que envolvem \ln(1+e^{x}):
os coeficientes do termo \ln(1+e^{x}) somam
-\tfrac{1}{2} - e^{x} - \tfrac{1}{2}e^{2x} = -\tfrac{1}{2}(1+2e^{x}+e^{2x}) = -\tfrac{1}{2}(1+e^{x})^{2}.
Portanto uma forma compacta de y_p é
y_p(x)=\tfrac{1}{2}x e^{2x} + \tfrac{1}{2}e^{x} - \tfrac{1}{2}(1+e^{x})^{2}\ln(1+e^{x}).
(Nota: qualquer forma equivalente de y_p obtida sem as constantes de integração é aceitável; parte das parcelas que são múltiplas de 1,e^{x},e^{2x} podem ser absorvidas na homogênea, mas a expressão acima já é uma particular válida.)]

Passo 8

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x} + \tfrac{1}{2}x e^{2x} + \tfrac{1}{2}e^{x} - \tfrac{1}{2}(1+e^{x})^{2}\ln(1+e^{x}),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_1 + C_2 e^{x} + C_3 e^{2x} + \tfrac{1}{2}x e^{2x} + \tfrac{1}{2}e^{x} - \tfrac{1}{2}(1+e^{x})^{2}\ln(1+e^{x})

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