resolva a equação diferencial de terceira ordem dada por variação de parâmetros. y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=\frac{e^{2 x}}{1+e^{x}}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem
Agora vamos pelo método da variação de parâmetros para terceira ordem. Procuramos uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)+u_3(x)y_3(x),
onde u_1,u_2,u_3\) são funções a determinar. Para reduzir o sistema diferencial para um sistema linear de 1ª ordem para \(u_i'\) impomos as condições (padrão na variação de parâmetros):
\[\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 + u_3' y_3 = 0,\\[4pt] u_1' y_1' + u_2' y_2' + u_3' y_3' = 0,\\[4pt] u_1' y_1'' + u_2' y_2'' + u_3' y_3'' = g(x), \end{cases}
onde g(x)=\dfrac{e^{2x}}{1+e^{x}}\]. Essas três equações determinam \(u_1',u_2',u_3'.
Explicação do porquê: ao impor as duas primeiras condições, eliminam‑se termos com u_i' nas expressões de y_p' e y_p'' que complicariam o cálculo; resta uma única equação com u_i' que corresponde exatamente ao lado direito g(x). É a forma usual do método para ordem 3.]
Integramos cada u_i' para obter u_i. Tomamos as constantes de integração iguais a zero (estas constantes corresponderiam a contribuições já incluídas na solução homogênea).
(Nota: qualquer forma equivalente de y_p obtida sem as constantes de integração é aceitável; parte das parcelas que são múltiplas de 1,e^{x},e^{2x} podem ser absorvidas na homogênea, mas a expressão acima já é uma particular válida.)]
Passo 8
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular: