1. Considere a seguinte reação genérica:
A+B \rightarrow C
Sabendo-se que a ordem com relação aos reagentes A e B é 1 e que a concentração inicial de ambos são diferentes, encontre, através do método da integração, uma equação correlacionando as concentrações de A e B com o tempo.

Passo 1

Temos a reação genérica
A + B \;\longrightarrow\; C
cuja lei de velocidade é de segunda ordem, pois é de primeira ordem em A e de primeira ordem em B:
-\frac{d[A]}{dt} \;=\; k\,[A]\,[B].
Como as concentrações iniciais [A]_0 e [B]_0 são diferentes, vamos usar a estequiometria para relacionar [B] com [A] e depois integrar a equação diferencial por separação de variáveis e frações parciais.

Passo 2

Pela estequiometria, ao consumir uma quantidade de A igual a [A]_0 - [A], consome-se a mesma quantidade de B, portanto
[B] \;=\; [B]_0 \;-\; \bigl([A]_0 - [A]\bigr) \;=\; [A] \;+\; d,
com
d = [B]_0 - [A]_0.
Substituindo em -d[A]/dt = k[A][B] obtemos
-\frac{d[A]}{dt} \;=\; k\,[A]\,\bigl([A]+d\bigr).

Passo 3

Separamos as variáveis e usamos frações parciais:
\frac{d[A]}{[A]\,([A]+d)} \;=\; -k\,dt.
A decomposição em frações parciais é
\frac{1}{[A]\,([A]+d)} =\frac{1}{d}\Bigl(\frac{1}{[A]}-\frac{1}{[A]+d}\Bigr),
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\int_{[A]_0}^{[A]} \frac{d[A]}{[A]\,([A]+d)} =\frac{1}{d} \int_{[A]_0}^{[A]} \Bigl(\frac{1}{[A]}-\frac{1}{[A]+d}\Bigr)\,d[A] = \int_{0}^{t} (-k)\,dt.

Passo 4

Fazendo as integrais e aplicando os limites, vem
\frac{1}{d}\Bigl[\ln\bigl([A]\bigr)-\ln\bigl([A]+d\bigr) -\bigl(\ln([A]_0)-\ln([A]_0+d)\bigr)\Bigr] =-k\,t.
Como [A]_0+d=[B]_0 e [A]+d=[B], rearranjamos:
\ln\!\Bigl(\frac{[A]/[B]}{[A]_0/[B]_0}\Bigr) =-k\,d\,t \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\Bigl(\frac{[A]_0\,[B]}{[B]_0\,[A]}\Bigr) =k\,( [B]_0-[A]_0 )\,t.

Passo 5

Isolando t ou escrevendo de forma usual, obtemos a expressão integrada da cinética de segunda ordem com concentrações iniciais diferentes:
\frac{1}{[B]_0 - [A]_0} \;\ln\!\Bigl(\frac{[A]_0\,[B]}{[B]_0\,[A]}\Bigr) = k\,t.

Resposta

\boxed{ \frac{1}{[B]_0 - [A]_0} \ln\!\Bigl(\frac{[A]_0\,[B]}{[B]_0\,[A]}\Bigr) = k\,t. }

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