A meia-vida do decaimento radioativo (reação de primeira ordem) do { }^{14} \mathrm{C} é de 5730 anos. Uma amostra arqueológica de madeira tinha apenas 72 \% de { }^{14} \mathrm{C} em relação ao que se encontra nas árvores vivas. Qual a idade da amostra? (Resp.: t =2715 anos)

Passo 1

O enunciado trata de decaimento radioativo de primeira ordem, em que a quantidade de {}^{14}\mathrm{C} decai exponencialmente. Sabemos a meia-vida T_{1/2}=5730 anos e que a fração remanescente é \tfrac{N}{N_0}=0{,}72. Vamos usar a relação entre constante de decaimento, meia-vida e a equação do decaimento exponencial.

Passo 2

A constante de decaimento k relaciona-se com a meia-vida pela fórmula
k = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}.

Passo 3

A equação do decaimento exponencial é
\frac{N}{N_0} = e^{-k t}.
Dessa expressão, isolamos o tempo t:
t = -\frac{1}{k}\,\ln\!\biggl(\frac{N}{N_0}\biggr).

Passo 4

Substituindo k = \tfrac{\ln 2}{5730} e \tfrac{N}{N_0}=0{,}72:
t = -\frac{1}{\ln(2)/5730}\,\ln(0{,}72) = \frac{5730}{\ln 2}\,\bigl[-\ln(0{,}72)\bigr].

Passo 5

Calculando numericamente:
\ln(2)\approx0{,}6931,\quad -\ln(0{,}72)\approx0{,}3285,
t \approx \frac{5730}{0{,}6931}\times0{,}3285\approx2715\text{ anos}.

Resposta

A idade da amostra é aproximadamente 2715 anos.

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