Considere a seguinte reação:
, se a lei de velocidade desta reação pode ser escrita como:
quanto tempo levará para a concentração de
cair à metade da concentração inicial, para a concentração inicial de
?
Passo 1
O enunciado dá a reação
e a lei de velocidade para a reação relativa ao
:
As informações relevantes são:
- Constante de velocidade:
. - Concentração inicial:
. - Pergunta: quanto tempo
leva para a concentração de cair à metade da concentração inicial (ou seja, para )?
Passo 2
Entendendo a equação diferencial e as variáveis (aula rápida e prática)
- A variável
é a concentração do reagente em mol·L^{-1} dependente do tempo (em s). - A equação dada é uma equação diferencial ordinária separável do tipo
com
sendo a constante de velocidade (unidades escolhidas para que a dimensão da taxa seja
).
- Para resolver, usamos separação de variáveis: colocamos todos os termos com
de um lado e do outro, e então integramos.
Passo 3
Integração passo a passo (como se fosse na prova)
Começamos com
Começamos com
Rearranjando para separar variáveis:
Integrando ambos os lados desde
(concentração
) até um tempo
(concentração
):
A primitiva de
é
, então o lado esquerdo dá
O lado direito é simplesmente
. Igualando:
Multiplicando por
e rearranjando obtemos a forma integrada conhecida para reação de segunda ordem:
Isto é a relação que usamos para obter
em função do tempo.
Passo 4
Condição de meia-vida e expressão para
A meia-vida é o tempo para
cair a metade de
, ou seja
. Substituindo na lei integrada:
A meia-vida
O lado esquerdo é
. Então
Subtraindo
de ambos os lados:
Portanto a expressão simples para a meia-vida em uma reação de segunda ordem (quando a velocidade é
) é
Observação rápida sobre unidades:
tem unidades
e
tem
; o produto
tem unidades
, logo
tem unidades de segundos — coerente.
Passo 5
Substituindo os valores numéricos e calculando (com detalhe para você reproduzir sem calculadora se preciso)
Dados:
Dados:
Calcule primeiro o produto
:
Escrevendo
, temos
Agora a meia-vida:
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos) e convertendo para horas e dias para dar uma noção:
Você pode usar a forma
sempre que a velocidade tiver a forma
— fica fácil de lembrar: para segunda ordem a meia-vida depende da concentração inicial (ao contrário da primeira ordem, onde é constante).