Considere a seguinte reação: \mathrm{CS}_{2}(\mathrm{~g})+3 \mathrm{O}_{2}(\mathrm{~g}) \rightarrow \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g})+2 \mathrm{SO}_{2}(\mathrm{~g}), se a lei de velocidade desta reação pode ser escrita como:
-\mathrm{d}\left[\mathrm{CS}_{2}\right] / \mathrm{dt}=\left(3,07 \cdot 10^{-4} \cdot \mathrm{~L} \cdot \mathrm{~mol}^{-1} \cdot \mathrm{~s}^{-1}\right) \cdot\left[\mathrm{CS}_{2}\right]^{2}
quanto tempo levará para a concentração de \mathrm{CS}_{2} cair à metade da concentração inicial, para a concentração inicial de 0,005 \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1} ?

Passo 1

O enunciado dá a reação
\mathrm{CS}_{2}(\mathrm{g}) + 3\mathrm{O}_{2}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{CO}_{2}(\mathrm{g}) + 2\mathrm{SO}_{2}(\mathrm{g})
e a lei de velocidade para a reação relativa ao \mathrm{CS}_{2}:
-\frac{\mathrm{d}\left[\mathrm{CS}_{2}\right]}{\mathrm{d}t}=\left(3{,}07\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}\right)\cdot\left[\mathrm{CS}_{2}\right]^{2}.
As informações relevantes são:
  • Constante de velocidade: k=3{,}07\cdot10^{-4}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}}.
  • Concentração inicial: [\mathrm{CS}_{2}]_{0}=0{,}005\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Pergunta: quanto tempo t leva para a concentração de \mathrm{CS}_{2} cair à metade da concentração inicial (ou seja, para [\mathrm{CS}_{2}]=[\mathrm{CS}_{2}]_{0}/2)?

Passo 2

Entendendo a equação diferencial e as variáveis (aula rápida e prática)
  • A variável [\mathrm{CS}_{2}] é a concentração do reagente em mol·L^{-1} dependente do tempo t (em s).
  • A equação dada é uma equação diferencial ordinária separável do tipo
-\frac{\mathrm{d}[\mathrm{CS}_{2}]}{\mathrm{d}t}=k\,[\mathrm{CS}_{2}]^{2},
com k sendo a constante de velocidade (unidades escolhidas para que a dimensão da taxa seja \mathrm{mol\cdot L^{-1}\cdot s^{-1}}).
  • Para resolver, usamos separação de variáveis: colocamos todos os termos com [\mathrm{CS}_{2}] de um lado e t do outro, e então integramos.

Passo 3

Integração passo a passo (como se fosse na prova)
Começamos com
-\frac{\mathrm{d}[\mathrm{CS}_{2}]}{\mathrm{d}t}=k\,[\mathrm{CS}_{2}]^{2}.
Rearranjando para separar variáveis:
\frac{\mathrm{d}[\mathrm{CS}_{2}]}{[\mathrm{CS}_{2}]^{2}}=-k\,\mathrm{d}t.
Integrando ambos os lados desde t=0 (concentração [\mathrm{CS}_{2}]_{0}) até um tempo t (concentração [\mathrm{CS}_{2}]):
\int_{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}}^{[\mathrm{CS}_{2}]}\frac{\mathrm{d}x}{x^{2}}=\int_{0}^{t}-k\,\mathrm{d}t.
A primitiva de x^{-2} é -x^{-1}, então o lado esquerdo dá
\left[-\frac{1}{x}\right]_{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}}^{[\mathrm{CS}_{2}]} = -\frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]} + \frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}}.
O lado direito é simplesmente -k t. Igualando:
-\frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]} + \frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}} = -k t.
Multiplicando por -1 e rearranjando obtemos a forma integrada conhecida para reação de segunda ordem:
\frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]}=\frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}} + k t.
Isto é a relação que usamos para obter [\mathrm{CS}_{2}] em função do tempo.

Passo 4

Condição de meia-vida e expressão para t_{1/2}
A meia-vida t_{1/2} é o tempo para [\mathrm{CS}_{2}] cair a metade de [\mathrm{CS}_{2}]_{0}, ou seja [\mathrm{CS}_{2}]=[\mathrm{CS}_{2}]_{0}/2. Substituindo na lei integrada:
\frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}/2}=\frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}} + k t_{1/2}.
O lado esquerdo é 2/[\mathrm{CS}_{2}]_{0}. Então
\frac{2}{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}}=\frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}} + k t_{1/2}.
Subtraindo 1/[\mathrm{CS}_{2}]_{0} de ambos os lados:
\frac{1}{[\mathrm{CS}_{2}]_{0}} = k t_{1/2}.
Portanto a expressão simples para a meia-vida em uma reação de segunda ordem (quando a velocidade é k[A]^2) é
t_{1/2}=\frac{1}{k\,[\mathrm{CS}_{2}]_{0}}.
Observação rápida sobre unidades: k tem unidades \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}} e [\mathrm{CS}_{2}]_{0} tem \mathrm{mol\cdot L^{-1}}; o produto k\,[\mathrm{CS}_{2}]_{0} tem unidades \mathrm{s^{-1}}, logo t_{1/2} tem unidades de segundos — coerente.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos e calculando (com detalhe para você reproduzir sem calculadora se preciso)
Dados:
k=3{,}07\cdot10^{-4}\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}\cdot s^{-1}},\qquad [\mathrm{CS}_{2}]_{0}=0{,}005\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
Calcule primeiro o produto k\,[\mathrm{CS}_{2}]_{0}:
k\,[\mathrm{CS}_{2}]_{0} = \left(3{,}07\cdot10^{-4}\right)\cdot\left(0{,}005\right).
Escrevendo 0{,}005=5\cdot10^{-3}, temos
k\,[\mathrm{CS}_{2}]_{0}=3{,}07\cdot10^{-4}\cdot 5\cdot10^{-3}= (3{,}07\cdot5)\cdot10^{-7}=15{,}35\cdot10^{-7}=1{,}535\cdot10^{-6}\\ \mathrm{s^{-1}}.
Agora a meia-vida:
t_{1/2}=\frac{1}{k\,[\mathrm{CS}_{2}]_{0}}=\frac{1}{1{,}535\cdot10^{-6}\\ \mathrm{s^{-1}}}=651041{,}666\ldots\\ \mathrm{s}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos) e convertendo para horas e dias para dar uma noção:
t_{1/2}\approx 6{,}51\cdot10^{5}\\ \mathrm{s}\approx 181\\ \mathrm{h}\approx 7{,}54\\ \mathrm{dias}.
Você pode usar a forma t_{1/2}=1/(k[A]_{0}) sempre que a velocidade tiver a forma k[A]^{2} — fica fácil de lembrar: para segunda ordem a meia-vida depende da concentração inicial (ao contrário da primeira ordem, onde é constante).

Resposta

t_{1/2}\approx 6{,}51\cdot10^{5}\\ \mathrm{s} (aprox. 181\\ \mathrm{h} ou 7{,}54\\ \mathrm{dias})

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