Considere o seguinte resultado: se \operatorname{det}(A)=0, então A não tem inversa. Use o resultado anterior para encontrar os valores de x para que as matrizes não tenham inversa:
\left[\begin{array}{cc}x+1 & -5 \\\ \frac{4}{5} & x+1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}x+1 & -5 \\[6pt] \tfrac{4}{5} & x+1\end{pmatrix}
e lembra que, em geral, uma matriz quadrada não tem inversa se, e somente se, seu determinante for zero. Vamos usar isso para encontrar os x que tornam \det(A)=0.]

Passo 2

Para uma matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
temos
\det(A)=ad - bc.
Aqui a = x+1, b=-5, c=\tfrac{4}{5} e d=x+1. Logo,
\det(A) = (x+1)(x+1) - \bigl(-5\bigr)\!\cdot\!\tfrac{4}{5}.

Passo 3

Simplificando a expressão do determinante:
\det(A) = (x+1)^2 + 5\cdot\tfrac{4}{5} = (x+1)^2 + 4.
Para que A não tenha inversa, impomos
(x+1)^2 + 4 = 0.
Isso é uma equação quadrática cuja solução é
(x+1)^2 = -4 \quad\Longrightarrow\quad x+1 = \pm 2\,i \quad\Longrightarrow\quad x = -1 \pm 2\,i.

Passo 4

Concluímos que os únicos valores de x (no corpo dos complexos) que anulam o determinante são x=-1+2i e x=-1-2i. Em particular, se x for real, não existe x que torne \det(A)=0, então a matriz é inversível para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

x = -1 \pm 2\,i.

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