Considere a seguinte serie
a) Calcula a soma Parcial
da o resultado como fração Irredutível
b) Determina a soma da serie infinita
a) Calcula a soma Parcial
b) Determina a soma da serie infinita
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas:
- Calcular a soma parcial
(ou seja, a soma dos primeiros 10 termos) e apresentar o resultado como fração irredutível. - Determinar a soma da série infinita (ou seja, o limite das somas parciais quando o número de termos tende a infinito).
Informações relevantes fornecidas:
- O termo geral da série é
para . - Para (a) precisamos somar de
até . - Para (b) precisamos avaliar o comportamento das somas parciais quando
.
Passo 2
Vamos transformar cada termo em uma forma que facilite a soma. A técnica que vamos usar é decomposição em frações simples (partial fractions): buscamos constantes
e
tais que
Explico passo a passo como encontrar
e
: multiplicamos os dois lados por
para eliminar denominadores:
Isso deve valer para todo
. Agora analisamos a identidade polinomial do lado direito. Uma forma prática é comparar coeficientes ou avaliar para valores convenientes de
.
Escolhendo
(mesmo que
no somatório comece em 1, aqui é só uma identidade algébrica), temos
Escolhendo
,
Portanto
e
, e assim
Passo 3
Agora que escrevemos cada termo como
, vamos ver o que acontece ao somar vários termos. Este tipo de soma chama-se série telescópica porque vários termos se cancelam entre si.
Para ilustrar, considere os primeiros três termos (apenas como exemplo para entender o padrão):
Somando essas três expressões observamos muitas cancelasões:
Em geral, ao somar de
até
,
pois todos os termos intermediários
se cancelam.
Passo 4
Agora calculemos explicitamente
. Usando a decomposição e o comportamento telescópico,
Logo,
Verificação de irredutibilidade:
, então
já está em forma irredutível.
Passo 5
Para a soma da série infinita consideramos a soma parcial geral
A soma da série (se existir) é o limite das somas parciais quando
:
Sabemos que
. Portanto
Assim a série converge e sua soma é
.
Passo 6
Rápida intuição final para te acalmar: a sequência das somas parciais é crescente (cada termo é positivo) e está limitada acima por 1 (vimos que
), então converge para um limite que só pode ser
; a conta mostrou que o limite é exatamente
. Isso confirma a convergência e o valor encontrado.