Considere a seguinte serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}
a) Calcula a soma Parcial s_{10} da o resultado como fração Irredutível
b) Determina a soma da serie infinita

Passo 1

O enunciado dá a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} e pede duas coisas:
  1. Calcular a soma parcial \;s_{10}\; (ou seja, a soma dos primeiros 10 termos) e apresentar o resultado como fração irredutível.
  2. Determinar a soma da série infinita (ou seja, o limite das somas parciais quando o número de termos tende a infinito).
Informações relevantes fornecidas:
  • O termo geral da série é \displaystyle \frac{1}{n(n+1)} para n=1,2,3,\dots.
  • Para (a) precisamos somar de n=1 até n=10.
  • Para (b) precisamos avaliar o comportamento das somas parciais quando N\to\infty.

Passo 2

Vamos transformar cada termo em uma forma que facilite a soma. A técnica que vamos usar é decomposição em frações simples (partial fractions): buscamos constantes A e B tais que
\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}.
Explico passo a passo como encontrar A e B: multiplicamos os dois lados por n(n+1) para eliminar denominadores:
1 = A(n+1) + Bn.
Isso deve valer para todo n. Agora analisamos a identidade polinomial do lado direito. Uma forma prática é comparar coeficientes ou avaliar para valores convenientes de n.
Escolhendo n=0 (mesmo que n no somatório comece em 1, aqui é só uma identidade algébrica), temos
1 = A(0+1) + B\cdot 0 \implies 1 = A.
Escolhendo n=-1,
1 = A\cdot 0 + B(-1) \implies 1 = -B \implies B = -1.
Portanto A=1 e B=-1, e assim
\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.

Passo 3

Agora que escrevemos cada termo como \displaystyle \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}, vamos ver o que acontece ao somar vários termos. Este tipo de soma chama-se série telescópica porque vários termos se cancelam entre si.
Para ilustrar, considere os primeiros três termos (apenas como exemplo para entender o padrão):
\begin{aligned} \frac{1}{1\cdot2} &= \frac{1}{1}-\frac{1}{2},\\\ \frac{1}{2\cdot3} &= \frac{1}{2}-\frac{1}{3},\\\ \frac{1}{3\cdot4} &= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}. \end{aligned}
Somando essas três expressões observamos muitas cancelasões:
\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{4}.
Em geral, ao somar de n=1 até n=N,
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{N+1},
pois todos os termos intermediários \frac{1}{2},\frac{1}{3},\dots,\frac{1}{N} se cancelam.

Passo 4

Agora calculemos explicitamente \;s_{10}=\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n(n+1)}. Usando a decomposição e o comportamento telescópico,
s_{10}=\sum_{n=1}^{10}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) = 1 - \frac{1}{10+1}.
Logo,
s_{10}=1-\frac{1}{11}=\frac{11}{11}-\frac{1}{11}=\frac{10}{11}.
Verificação de irredutibilidade: \gcd(10,11)=1, então \displaystyle \frac{10}{11} já está em forma irredutível.

Passo 5

Para a soma da série infinita consideramos a soma parcial geral
s_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{N+1}.
A soma da série (se existir) é o limite das somas parciais quando N\to\infty:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\lim_{N\to\infty}s_{N} = \lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right).
Sabemos que \displaystyle \lim_{N\to\infty}\frac{1}{N+1}=0. Portanto
\lim_{N\to\infty}\left(1-\frac{1}{N+1}\right)=1-0=1.
Assim a série converge e sua soma é 1.

Passo 6

Rápida intuição final para te acalmar: a sequência das somas parciais é crescente (cada termo é positivo) e está limitada acima por 1 (vimos que s_N=1-\frac{1}{N+1}<1), então converge para um limite que só pode ser \le 1; a conta mostrou que o limite é exatamente 1. Isso confirma a convergência e o valor encontrado.

Resposta

\displaystyle s_{10}=\frac{10}{11}
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}=1

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