Uma impressora a laser usa um feixe de laser para imprimir cópias rapidamente para um computador. O laser é posicionado por uma entrada de controle r(t) que representa a posição desejada do feixe de laser. Para isto tem-se:
Y(s)=\frac{3(s+60)}{s^{2}+30 s+180}
(a) Se \mathrm{r}(\mathrm{t}) for uma entrada em degrau unitário, encontre a saída \mathrm{y}(\mathrm{t}).
(b) Qual é o valor final de \mathrm{y}(\mathrm{t}) ?

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência do sistema (ou, de maneira equivalente, a função que relaciona saída e entrada no domínio de Laplace) como
G(s)=\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{3(s+60)}{s^{2}+30s+180}.
As perguntas são:
  • (a) Se \mathrm{r}(\mathrm{t}) for um degrau unitário, encontrar a saída \mathrm{y}(\mathrm{t}).
  • (b) Encontrar o valor final de \mathrm{y}(\mathrm{t}).
Informações relevantes que vamos usar:
  • A transformada de Laplace de um degrau unitário é \displaystyle R(s)=\frac{1}{s}.
  • Para entrada \displaystyle R(s), a saída no domínio de Laplace é \displaystyle Y(s)=G(s)\,R(s).
  • Para recuperar \mathrm{y}(\mathrm{t}) é preciso fazer a transformada inversa de Laplace de Y(s). Vamos usar decomposição em frações parciais e tabelas/identidades de transformada inversa.
  • Para o valor final podemos usar o Teorema do Valor Final: \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} sY(s), quando aplicável (sistema estável).

Passo 2

Montar Y(s) para entrada degrau unitário. Como R(s)=\dfrac{1}{s}, temos
Y(s)=G(s)\,R(s)=\frac{3(s+60)}{s^{2}+30s+180}\cdot\frac{1}{s}=\frac{3(s+60)}{s\,(s^{2}+30s+180)}.
A tarefa é calcular a transformada inversa de
\displaystyle Y(s)=\frac{3(s+60)}{s\,(s^{2}+30s+180)}.

Passo 3

Fazer decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{3(s+60)}{s\,(s^{2}+30s+180)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{s^{2}+30s+180}.
Multiplicando ambos os lados por s(s^{2}+30s+180) obtemos a identidade polinomial
3(s+60)=A(s^{2}+30s+180)+(Bs+C)s.
Agora igualamos coeficientes dos polinômios (ordem por ordem):
Coeficiente de s^{2}:
0 = A+B \quad\Rightarrow\quad B=-A.
Coeficiente de s:
3 = 30A + C \quad\Rightarrow\quad C = 3-30A.
Termo constante:
180 = 180A \quad\Rightarrow\quad A=1.
Com A=1 temos B=-1 e C=3-30\cdot1=-27. Portanto
\frac{3(s+60)}{s\,(s^{2}+30s+180)}=\frac{1}{s}+\frac{-s-27}{s^{2}+30s+180}.

Passo 4

Transformar a parte quadrática em forma que permita inversão. O polinômio quadrático pode ser fatorado em raízes reais:
s^{2}+30s+180=(s-p_1)(s-p_2),
onde
p_{1,2}=\frac{-30\pm\sqrt{30^{2}-4\cdot180}}{2}=\frac{-30\pm\sqrt{180}}{2}=-15\pm 3\sqrt{5}.
Assim p_1=-15+3\sqrt{5} e p_2=-15-3\sqrt{5} (ambos negativos numericamente).
Queremos escrever
\frac{-s-27}{s^{2}+30s+180}=\frac{A_1}{s-p_1}+\frac{A_2}{s-p_2}.
As constantes A_1,A_2 (resíduos) são dadas por
A_1=\left.\frac{-(s+27)}{s-p_2}\right|_{s=p_1}=\frac{-(p_1+27)}{p_1-p_2},\qquad A_2=\left.\frac{-(s+27)}{s-p_1}\right|_{s=p_2}=\frac{-(p_2+27)}{p_2-p_1}.
Como p_1-p_2=6\sqrt{5}, calculemos p_1+27 e p_2+27:
p_1+27 = (-15+3\sqrt{5})+27 = 12+3\sqrt{5}, \qquad p_2+27 = 12-3\sqrt{5}.
Portanto
A_1=-\frac{12+3\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=-\frac{3(4+\sqrt{5})}{6\sqrt{5}}=-\frac{4+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}},
A_2=-\frac{12-3\sqrt{5}}{-6\sqrt{5}}=\frac{12-3\sqrt{5}}{6\sqrt{5}}=\frac{4-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}.
Podemos reescrever esses coeficientes de forma ligeiramente mais palpável:
A_1=-\frac{4+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}-\frac{2}{\sqrt{5}}, \qquad A_2=\frac{4-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=-\frac{1}{2}+\frac{2}{\sqrt{5}}.
(esses últimos passos são apenas manipulação algébrica para entender a magnitude; não são estritamente necessárias, mas ajudam a ver que A_1+A_2=-1, que confere com y(0)=0 quando somado ao termo \tfrac{1}{s}.)
Logo a decomposição completa é
Y(s)=\frac{1}{s}+\frac{A_1}{s-p_1}+\frac{A_2}{s-p_2}.

Passo 5

Aplicar transformada inversa de Laplace termo a termo. Recordando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 (degrau unitário) e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-p}\}=e^{pt}, obtemos para t\ge 0
y(t)=1 + A_1 e^{p_1 t} + A_2 e^{p_2 t},
onde p_1=-15+3\sqrt{5}, p_2=-15-3\sqrt{5} e
A_1=-\frac{4+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}},\qquad A_2=\frac{4-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}.
Colocando tudo junto:
\boxed{\,y(t)=1-\frac{4+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\,e^{(-15+3\sqrt{5})t}+\frac{4-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\,e^{(-15-3\sqrt{5})t},\quad t\ge 0.\,}
(Isto é equivalente a escrever os coeficientes nas formas numéricas envolvendo 1/2 e 2/\sqrt{5}.)

Passo 6

Calcular o valor final de y(t). Usando o Teorema do Valor Final:
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} sY(s).
Como Y(s)=G(s)\cdot\frac{1}{s}, temos
\lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} s\cdot\frac{3(s+60)}{s(s^{2}+30s+180)}=\lim_{s\to 0}\frac{3(s+60)}{s^{2}+30s+180}.
Avalia em s=0:
\lim_{t\to\infty} y(t)=\frac{3(0+60)}{0+0+180}=\frac{180}{180}=1.
Ou, diretamente da forma no tempo, como p_1,p_2<0 os termos exponenciais se anulam quando t\to\infty e sobra 1.

Resposta

(a) \displaystyle y(t)=1-\frac{4+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\,e^{(-15+3\sqrt{5})t}+\frac{4-\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}\,e^{(-15-3\sqrt{5})t},\quad t\ge 0.
(b) \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=1.

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