Uma impressora a laser usa um feixe de laser para imprimir cópias rapidamente para um computador. O laser é posicionado por uma entrada de controle r(t) que representa a posição desejada do feixe de laser. Para isto tem-se:
Y(s)=\frac{3(s+60)}{s^{2}+30 s+180}
(a) Se \mathrm{r}(\mathrm{t}) for uma entrada em degrau unitário, encontre a saída \mathrm{y}(\mathrm{t}).
(b) Qual é o valor final de \mathrm{y}(\mathrm{t}) ?
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do sistema (ou, de maneira equivalente, a função que relaciona saída e entrada no domínio de Laplace) como
(a) Se \mathrm{r}(\mathrm{t}) for um degrau unitário, encontrar a saída \mathrm{y}(\mathrm{t}).
(b) Encontrar o valor final de \mathrm{y}(\mathrm{t}).
Informações relevantes que vamos usar:
A transformada de Laplace de um degrau unitário é \displaystyle R(s)=\frac{1}{s}.
Para entrada \displaystyle R(s), a saída no domínio de Laplace é \displaystyle Y(s)=G(s)\,R(s).
Para recuperar \mathrm{y}(\mathrm{t}) é preciso fazer a transformada inversa de Laplace de Y(s). Vamos usar decomposição em frações parciais e tabelas/identidades de transformada inversa.
Para o valor final podemos usar o Teorema do Valor Final: \displaystyle \lim_{t\to\infty} y(t)=\lim_{s\to 0} sY(s), quando aplicável (sistema estável).
Passo 2
Montar Y(s) para entrada degrau unitário. Como R(s)=\dfrac{1}{s}, temos
(esses últimos passos são apenas manipulação algébrica para entender a magnitude; não são estritamente necessárias, mas ajudam a ver que A_1+A_2=-1, que confere com y(0)=0 quando somado ao termo \tfrac{1}{s}.)
Aplicar transformada inversa de Laplace termo a termo. Recordando que \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 (degrau unitário) e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-p}\}=e^{pt}, obtemos para t\ge 0