Para a seguinte função de transferência, responda o número de polos que estão no semiplano da direita. O sistema é estável?
T(s)=\frac{500}{s^{8}+s^{7}+12 s^{6}+22 s^{5}+39 s^{4}+59 s^{3}+48 s^{2}+38 s+20}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
T(s)=\frac{500}{s^{8}+s^{7}+12s^{6}+22s^{5}+39s^{4}+59s^{3}+48s^{2}+38s+20}
e pergunta quantos polos estão no semiplano direito e se o sistema é estável. Vamos usar o critério de Routh–Hurwitz aplicado ao polinômio do denominador para contar raízes com parte real positiva.

Passo 2

Escrevemos o polinômio do denominador e suas linhas iniciais da tabela de Routh. Os coeficientes para as potências pares e ímpares são:
\begin{aligned} s^8:&\;1,\;12,\;39,\;48,\;20,\\\ s^7:&\;1,\;22,\;59,\;38,\;0. \end{aligned}

Passo 3

Montamos a tabela de Routh calculando cada elemento pela fórmula \displaystyle E=\frac{(\text{primeiro da linha de baixo})\times(\text{segundo da linha de cima})-(\text{primeiro da linha de cima})\times(\text{segundo da linha de baixo})}{\text{primeiro da linha de baixo}}.
Isso dá:
\begin{array}{c|rrrrr} s^8 & 1 & 12 & 39 & 48 & 20\\\ s^7 & 1 & 22 & 59 & 38 & 0\\hline s^6 & -10 & -20 & 10 & 20 & \\\ s^5 & 20 & 60 & 40 & 0 & \\\ s^4 & 10 & 30 & 20 & & \\\ s^3 & 0 & 0 & 0 & & \\\ \end{array}

Passo 4

Como a linha s^3 ficou toda zero, formamos o polinômio auxiliar a partir da linha s^4:
A(s)=10s^4+30s^2+20.
Derivando,
A'(s)=40s^3+60s.
Usamos os coeficientes de A'(s) para preencher a linha s^3:
s^3:\;40,\;60,\;0.
Continuando a tabela:
\begin{array}{c|rrr} s^3 & 40 & 60 & 0\\hline s^2 & 15 & 20 & 0\\\ s^1 & \tfrac{100}{15} & 0 & \\\ s^0 & 20 & & \end{array}

Passo 5

Agora extraímos a primeira coluna:
1,\;1,\;-10,\;20,\;10,\;40,\;15,\;\tfrac{100}{15},\;20.
Contamos mudanças de sinal consecutivas:
1\to 1 (nenhuma), 1\to–10 (uma), – 10\to 20 (duas), e depois não há mais trocas. Isso significa que há 2 polos no semiplano direito.

Resposta

O sistema tem 2 polos no semiplano direito. Logo, não é estável.

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