1. Considere o seguinte sistema de m equações lineares nas n incógnitas x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} :
\begin{aligned} a_{1,1} x_{1}+a_{1,2} x_{2}+\cdots+a_{1, n} x_{n} & =b_{1} \\\ a_{2,1} x_{1}+a_{2,2} x_{2}+\cdots+a_{2, n} x_{n} & =b_{2} \\\ \vdots & \\\ a_{m, 1} x_{1}+a_{m, 2} x_{2}+\cdots+a_{m, n} x_{n} & =b_{m} \end{aligned}
Escreva este sistema linear nas formas vetorial e matricial. Escreva a matriz aumentada desse sistema.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de m equações lineares em n incógnitas
\begin{aligned} a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+\cdots+a_{1,n}x_{n}&=b_{1},\\\ a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}+\cdots+a_{2,n}x_{n}&=b_{2},\\\ \vdots\quad\quad\quad\quad\quad\quad&\vdots\\\ a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+\cdots+a_{m,n}x_{n}&=b_{m}. \end{aligned}
Precisamos escrever este sistema na forma vetorial, na forma matricial e exibir a matriz aumentada.

Passo 2

Definimos os vetores coluna
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\\vdots\x_{n}\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}b_{1}\b_{2}\\vdots\b_{m}\end{pmatrix},
e, para cada coluna de coeficientes,
\mathbf{a}_{j}=\begin{pmatrix}a_{1,j}\a_{2,j}\\vdots\a_{m,j}\end{pmatrix}\quad(j=1,\dots,n).
Na forma vetorial, o sistema fica
x_{1}\mathbf{a}_{1}+x_{2}\mathbf{a}_{2}+\cdots+x_{n}\mathbf{a}_{n} =\mathbf{b}.

Passo 3

Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}
e escrevemos o sistema na forma matricial compacta
A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}.

Passo 4

A matriz aumentada do sistema é a junção de A com o vetor \mathbf{b} pela direita, ou seja,
\bigl[A\mid \mathbf{b}\bigr] = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} & \bigl| & b_{1}\\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} & \bigl| & b_{2}\\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \bigl| & \vdots \\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} & \bigl| & b_{m} \end{pmatrix}.

Resposta

Forma vetorial:
x_{1}\mathbf{a}_{1}+x_{2}\mathbf{a}_{2}+\cdots+x_{n}\mathbf{a}_{n} =\mathbf{b}.
Forma matricial:
A\,\mathbf{x}=\mathbf{b}.
Matriz aumentada:
\bigl[A\mid \mathbf{b}\bigr] = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} & \mid & b_{1}\\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} & \mid & b_{2}\\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \mid & \vdots\\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} & \mid & b_{m} \end{pmatrix}.

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