Considere o seguinte subespaço de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) e responda os itens a seguir:
S=\left\{\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]: c=a+b, \quad d=a\right\}
(a) Qual a dimensão de S ?
(b) O conjunto \left\{\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{array}\right]\right\} é uma base de S? Justifique.
Passo 1
O enunciado define o subespaço
S=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}\right| c=a+b,\; d=a\right\}
e pede duas coisas:
(a) Determinar a dimensão de S.
(b) Verificar se o conjunto \left\{\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}\right\} é uma base de S, com justificativa.
As informações relevantes dadas são as relações entre as entradas de uma matriz qualquer em S: c=a+b e d=a. Nada mais foi omitido.
Passo 2
Parametrização de S. Como as entradas c e d são determinadas por a e b, podemos tomar a e b como parâmetros livres em \mathbb{R}. Assim, uma matriz genérica de S é
\begin{pmatrix}a & b \\\ a+b & a\end{pmatrix}.
Agora escrevemos essa matriz como combinação linear de duas matrizes fixas, separando os coeficientes a e b:
“Span” (ou gerador) de um conjunto de vetores significa todas as combinações lineares possíveis desses vetores. Se todo vetor do subespaço pode ser escrito assim, dizemos que o conjunto gera o subespaço.
Uma “base” de um subespaço é um conjunto de vetores que gera o subespaço e é linearmente independente.
A “dimensão” do subespaço é o número de vetores em qualquer base (todas as bases têm o mesmo tamanho).
Passo 3
Verificação de independência linear de E_1 e E_2. Para checar se E_1 e E_2 são linearmente independentes, suponha que existam escalares x,y\in\mathbb{R} tais que
Como a única solução é x=0 e y=0, os vetores E_1 e E_2 são linearmente independentes. Como já vimos que geram S, eles formam uma base de S.
Portanto, o número de vetores na base é 2, logo
\dim(S)=2.
Passo 4
Verificação do conjunto dado ser base de S. Primeiro é necessário checar se ambos os elementos pertencem a S; se algum não pertence, o conjunto não pode ser base.
Para M_1=\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}: tome a=1 e b=-1. Então a+b=1+(-1)=0 e d=a=1. As condições c=a+b e d=a são satisfeitas, logo M_1\in S.
Para M_2=\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}: tome a=2 e b=1. Então a+b=2+1=3, que coincide com c=3, mas d deveria ser a=2 e aqui d=4. Como d\neq a, a condição falha, logo M_2\notin S.
Conclusão: o conjunto dado não é subconjunto de S (porque M_2\notin S), portanto não pode ser uma base de S. Não é necessário testar independência linear neste caso.
Resposta
\dim(S)=2
Não — o conjunto dado não é base de S, pois \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 3 & 4\end{pmatrix}\notin S (não satisfaz d=a).