Sejam v_{1}=(4,6,7)^{T}, v_{2}=(0,1,1)^{T} e v_{3}=(0,1,2)^{T}. Considere as bases \mathcal{S}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} e \mathcal{B}=\left\{(1,1,1)^{T},(1,2,2)^{T},(2,3,4)^{T}\right\} de \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontre a matriz de mudança de base da base \mathcal{S} para a base \mathcal{B}
(b) Encontre as coordenadas de v em relação à base \mathcal{B}.

Passo 1

O enunciado dá os vetores
v_{1}=(4,6,7)^{T},\quad v_{2}=(0,1,1)^{T},\quad v_{3}=(0,1,2)^{T}
e as bases
\mathcal{S}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\},\qquad \mathcal{B}=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}
onde
b_{1}=(1,1,1)^{T},\quad b_{2}=(1,2,2)^{T},\quad b_{3}=(2,3,4)^{T}.
As perguntas são:
(a) Encontrar a matriz de mudança de base da base \mathcal{S} para a base \mathcal{B}.
(b) Encontrar as coordenadas de v em relação à base \mathcal{B}.
Observação importante: o enunciado não especifica qual é o vetor v pedido em (b). Portanto não é possível dar um valor numérico para (b) sem essa informação. Vou, porém, calcular a matriz de mudança de base pedida em (a) e mostrar exatamente como obter as coordenadas de qualquer vetor v em \mathcal{B} (diretamente do vetor em coordenadas padrão ou a partir de suas coordenadas em \mathcal{S}). Também vou calcular como ficam as coordenadas de v_{1},v_{2},v_{3} em \mathcal{B} como exemplos úteis.

Passo 2

Vamos lembrar a definição e a fórmula que usamos: se S é a matriz cujas colunas são os vetores da base \mathcal{S} escritos nas coordenadas padrão e B é a matriz cujas colunas são os vetores da base \mathcal{B} em coordenadas padrão, então para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{3} vale
[x]_{E}=S\,[x]_{\mathcal{S}}\quad\text{e}\quad [x]_{E}=B\,[x]_{\mathcal{B}},
onde [x]_{E} são as coordenadas padrão de x. Igualando,
B\,[x]_{\mathcal{B}}=S\,[x]_{\mathcal{S}}.
Daí segue a fórmula da matriz de mudança de base que vai das coordenadas em \mathcal{S} para as coordenadas em \mathcal{B}:
[x]_{\mathcal{B}}=B^{-1}S\,[x]_{\mathcal{S}}.
Ou seja, a matriz de mudança de base de \mathcal{S} para \mathcal{B} é
P = B^{-1}S.
Vou calcular S, B, B^{-1} e então P passo a passo.

Passo 3

Escrevemos as matrizes S e B (cada coluna é um vetor da base, em coordenadas padrão):
S=\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\[4pt] 6 & 1 & 1\\[4pt] 7 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 & 4 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Antes de inverter B verificamos que \det(B)\neq 0. Calculamos o determinante:
\det(B)= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2\\\\ 1 & 2 & 3\\\\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} =1\cdot(2\cdot4-3\cdot2)-1\cdot(1\cdot4-3\cdot1)+2\cdot(1\cdot2-2\cdot1).
Agora os cálculos:
1\cdot(8-6)-1\cdot(4-3)+2\cdot(2-2)=1\cdot2-1\cdot1+2\cdot0=2-1+0=1.
Como \det(B)=1, B é invertível e a inversa existe (e tem determinante 1).

Passo 5

Vamos achar [B^{-1}). Uma forma prática é resolver B c_{j}=e_{j} para j=1,2,3 (cada coluna de B^{-1} é a solução desse sistema). Faço isso coluna a coluna:
Resolver B c_{1}=e_{1} (onde e_{1}=(1,0,0)^{T}):
\begin{cases} c_{1,1}+c_{1,2}+2c_{1,3}=1,\\[4pt] c_{1,1}+2c_{1,2}+3c_{1,3}=0,\\[4pt] c_{1,1}+2c_{1,2}+4c_{1,3}=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda: c_{1,2}+c_{1,3}=-1\]. Subtraindo a segunda da terceira: \[c_{1,3}=0. Então c_{1,2}=-1. Pela primeira equação c_{1,1}=2.
Logo c_{1}=(2,-1,0)^{T}.
Resolver B c_{2}=e_{2} (onde e_{2}=(0,1,0)^{T}):
\begin{cases} c_{2,1}+c_{2,2}+2c_{2,3}=0,\\[4pt] c_{2,1}+2c_{2,2}+3c_{2,3}=1,\\[4pt] c_{2,1}+2c_{2,2}+4c_{2,3}=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: c_{2,2}+c_{2,3}=1\]. Subtraindo a segunda da terceira: \[c_{2,3}=-1. Então c_{2,2}=2. Pela primeira equação c_{2,1}=0.
Logo c_{2}=(0,2,-1)^{T}.
Resolver B c_{3}=e_{3} (onde e_{3}=(0,0,1)^{T}):
\begin{cases} c_{3,1}+c_{3,2}+2c_{3,3}=0,\\[4pt] c_{3,1}+2c_{3,2}+3c_{3,3}=0,\\[4pt] c_{3,1}+2c_{3,2}+4c_{3,3}=1. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: c_{3,2}+c_{3,3}=0\] então \(c_{3,2}=-c_{3,3}.
Subtraindo a segunda da terceira: c_{3,3}=1. Assim c_{3,2}=-1. Pela primeira equação c_{3,1}=-1.
Logo c_{3}=(-1,-1,1)^{T}.
Portanto
B^{-1}=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\[4pt] -1 & 2 & -1\\[4pt] 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora calculamos P=B^{-1}S. Uma maneira prática é aplicar B^{-1} a cada coluna de S (cada v_{j}):
  1. Para v_{1}=(4,6,7)^{T}:
B^{-1}v_{1}= \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1\\\\ -1 & 2 & -1\\\\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\\ 6\\\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot4+0\cdot6-1\cdot7\\[4pt] -1\cdot4+2\cdot6-1\cdot7\\[4pt] 0\cdot4-1\cdot6+1\cdot7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
  1. Para v_{2}=(0,1,1)^{T}:
B^{-1}v_{2}= \begin{pmatrix} 2\cdot0+0\cdot1-1\cdot1\\[4pt] -1\cdot0+2\cdot1-1\cdot1\\[4pt] 0\cdot0-1\cdot1+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Para v_{3}=(0,1,2)^{T}:
B^{-1}v_{3}= \begin{pmatrix} 2\cdot0+0\cdot1-1\cdot2\\[4pt] -1\cdot0+2\cdot1-1\cdot2\\[4pt] 0\cdot0-1\cdot1+1\cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo as colunas de P=B^{-1}S são esses vetores, isto é
P=B^{-1}S=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Interpretação prática: se [x]_{\mathcal{S}} são as coordenadas de um vetor x na base \mathcal{S}, então
[x]_{\mathcal{B}}=P\,[x]_{\mathcal{S}}.]

Passo 7

Como exemplos úteis (e para reforçar a intuição), as coordenadas dos vetores v_{1},v_{2},v_{3} em relação à base \mathcal{B} são exatamente as colunas de P, ou seja:
[v_{1}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\qquad [v_{2}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\qquad [v_{3}]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Agora, sobre a parte (b) do enunciado: como eu observei no Passo 1, o vetor v não foi especificado no enunciado. Assim, não posso dar coordenadas numéricas para [v]_{\mathcal{B}} sem saber qual é v. Mas mostro claramente como proceder em qualquer dos dois casos práticos que você vai encontrar numa prova:
  • Se você tiver v nas coordenadas padrão (isto é, v dado como um vetor em \mathbb{R}^{3} com componentes), então calcule
[v]_{\mathcal{B}}=B^{-1}v.
  • Se você tiver v dado nas coordenadas em \mathcal{S} (isto é, [v]_{\mathcal{S}} conhecido), então calcule
[v]_{\mathcal{B}}=P\,[v]_{\mathcal{S}}.
Essas fórmulas são o que você precisa memorizar e aplicar rapidamente na prova. Se quiser, dou um exemplo numérico concreto: suponha v=v_{1} (um caso natural) então, como já mostrei, [v_{1}]_{\mathcal{B}}=(1,1,1)^{T}.

Resposta

(a)
\begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(b) Não é possível determinar numericamente [v]_{\mathcal{B}} porque o vetor v não foi especificado no enunciado.]

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