Sejam v_{1}=(4,6,7)^{T}, v_{2}=(0,1,1)^{T} e v_{3}=(0,1,2)^{T}. Considere as bases \mathcal{S}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} e \mathcal{B}=\left\{(1,1,1)^{T},(1,2,2)^{T},(2,3,4)^{T}\right\} de \mathbb{R}^{3}.
(a) Encontre a matriz de mudança de base da base \mathcal{S} para a base \mathcal{B}
(b) Encontre as coordenadas de v em relação à base \mathcal{B}.
As perguntas são:
(a) Encontrar a matriz de mudança de base da base \mathcal{S} para a base \mathcal{B}.
(b) Encontrar as coordenadas de v em relação à base \mathcal{B}.
Observação importante: o enunciado não especifica qual é o vetor v pedido em (b). Portanto não é possível dar um valor numérico para (b) sem essa informação. Vou, porém, calcular a matriz de mudança de base pedida em (a) e mostrar exatamente como obter as coordenadas de qualquer vetor v em \mathcal{B} (diretamente do vetor em coordenadas padrão ou a partir de suas coordenadas em \mathcal{S}). Também vou calcular como ficam as coordenadas de v_{1},v_{2},v_{3} em \mathcal{B} como exemplos úteis.
Passo 2
Vamos lembrar a definição e a fórmula que usamos: se S é a matriz cujas colunas são os vetores da base \mathcal{S} escritos nas coordenadas padrão e B é a matriz cujas colunas são os vetores da base \mathcal{B} em coordenadas padrão, então para qualquer vetor x\in\mathbb{R}^{3} vale
Como \det(B)=1, B é invertível e a inversa existe (e tem determinante 1).
Passo 5
Vamos achar [B^{-1}). Uma forma prática é resolver B c_{j}=e_{j} para j=1,2,3 (cada coluna de B^{-1} é a solução desse sistema). Faço isso coluna a coluna:
Subtraindo a primeira equação da segunda: c_{1,2}+c_{1,3}=-1\].
Subtraindo a segunda da terceira: \[c_{1,3}=0. Então c_{1,2}=-1. Pela primeira equação c_{1,1}=2.
Logo c_{1}=(2,-1,0)^{T}.
Subtraindo a primeira da segunda: c_{2,2}+c_{2,3}=1\].
Subtraindo a segunda da terceira: \[c_{2,3}=-1. Então c_{2,2}=2. Pela primeira equação c_{2,1}=0.
Logo c_{2}=(0,2,-1)^{T}.
Interpretação prática: se [x]_{\mathcal{S}} são as coordenadas de um vetor x na base \mathcal{S}, então
[x]_{\mathcal{B}}=P\,[x]_{\mathcal{S}}.]
Passo 7
Como exemplos úteis (e para reforçar a intuição), as coordenadas dos vetores v_{1},v_{2},v_{3} em relação à base \mathcal{B} são exatamente as colunas de P, ou seja:
Agora, sobre a parte (b) do enunciado: como eu observei no Passo 1, o vetor v não foi especificado no enunciado. Assim, não posso dar coordenadas numéricas para [v]_{\mathcal{B}} sem saber qual é v. Mas mostro claramente como proceder em qualquer dos dois casos práticos que você vai encontrar numa prova:
Se você tiver v nas coordenadas padrão (isto é, v dado como um vetor em \mathbb{R}^{3} com componentes), então calcule
[v]_{\mathcal{B}}=B^{-1}v.
Se você tiver v dado nas coordenadas em \mathcal{S} (isto é, [v]_{\mathcal{S}} conhecido), então calcule
[v]_{\mathcal{B}}=P\,[v]_{\mathcal{S}}.
Essas fórmulas são o que você precisa memorizar e aplicar rapidamente na prova. Se quiser, dou um exemplo numérico concreto: suponha v=v_{1} (um caso natural) então, como já mostrei, [v_{1}]_{\mathcal{B}}=(1,1,1)^{T}.