Um elemento genérico de M_{2\times2}(\mathbb{R}) é \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & t\end{pmatrix}.
Em U há a restrição linear \;x-y-z=0.
Devemos verificar que cada conjunto é uma base de U, isto é: (i) seus vetores pertencem a U; (ii) são linearmente independentes; e (iii) geram U (ou, equivalente e mais prático, têm o mesmo número de vetores que \dim(U) e são linearmente independentes).]
Passo 2
Primeiro vamos entender a forma geral dos elementos de U e calcular \dim(U).
A condição \;x-y-z=0 pode ser reescrita como
x=y+z.
Logo um elemento genérico de U tem a forma
\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y+z & y\\[4pt] z & t\end{pmatrix}.
Agora escrevemos essa matriz como combinação linear de matrizes “canônicas” usando y,z,t como parâmetros livres:
Dessa expressão vemos que U é gerado por três matrizes independentes (as matrizes que aparecem como coeficientes de y,z,t). Portanto \dim(U)=3. Isso significa: qualquer subconjunto de U com três vetores linearmente independentes é automaticamente uma base de U.
Vou usar essa informação para provar que B e C são bases: basta verificar que seus três vetores pertencem a U e são linearmente independentes.]
Passo 3
Verificação elemento-a-elemento de que os vetores de B pertencem a U.
Escrevendo componente a componente obtemos o sistema para \alpha,\beta,\gamma:
Entrada (1,1): \alpha+\beta+0=0 ou \alpha+\beta=0.
Entrada (1,2): \alpha+0+0=0 ou \alpha=0.
Entrada (2,1): 0+\beta+0=0 ou \beta=0.
Entrada (2,2): 0+0+\gamma=0 ou \gamma=0.
Da segunda equação vem \alpha=0. Então da primeira \beta=0. E da quarta \gamma=0. Assim \alpha=\beta=\gamma=0 é a única solução, portanto b_1,b_2,b_3 são linearmente independentes.]
Passo 5
Conclusão para B.
Temos três vetores em U que são linearmente independentes e \dim(U)=3. Logo B=\{b_1,b_2,b_3\} é uma base de U.
Passo 6
Verificação elemento-a-elemento de que os vetores de C pertencem a U.
Isto é, cada c_i é combinação linear dos b_j. Agora suponha que exista uma combinação linear nula entre os c_i:
\mu\,c_1+\nu\,c_2+\rho\,c_3 = 0.
Substituindo pelas combinações em termos de b's:
\mu b_2 + \nu(b_2 - b_1) + \rho b_3 = 0.
Agrupando os b_j:
(-\nu)\,b_1 + (\mu+\nu)\,b_2 + \rho\,b_3 = 0.
Mas já mostramos que b_1,b_2,b_3 são linearmente independentes, então os coeficientes devem ser zero:
-\nu=0,\qquad \mu+\nu=0,\qquad \rho=0.
Da primeira obtemos \nu=0. Da segunda, com \nu=0, obtemos \mu=0. Da terceira \rho=0. Assim \mu=\nu=\rho=0 é a única solução, logo c_1,c_2,c_3 são linearmente independentes.
Passo 8
Conclusão para C.
Temos três vetores em U que são linearmente independentes e \dim(U)=3. Logo C=\{c_1,c_2,c_3\} é uma base de U.