e a pergunta é: encontrar escalares \displaystyle c_1,c_2,c_3,c_4\in\mathbb{R} tais que
\displaystyle v=c_1B_1+c_2B_2+c_3B_3+c_4B_4.
(Pronto — identifiquei o que se pede e listei os dados. Agora vamos resolver.)]
Passo 2
O que significa “coordenadas na base”?
Significa achar os números \displaystyle c_1,c_2,c_3,c_4 (as coordenadas) que combinados com os vetores da base nos dão exatamente v. Se B fosse realmente uma base (conjunto linearmente independente que gera o espaço), essa representação seria única. Para encontrar os coeficientes, escrevemos a combinação linear e igualamos as quatro entradas da matriz (cada posição produz uma equação). Vou mostrar isso passo a passo.
Essa matriz tem de ser igual a v=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}. Igualando as entradas correspondentes chegamos ao sistema linear de quatro equações:
A equação fica 1=1, ou seja, é satisfeita para todo c_2. Isso mostra que o sistema não fixa um único valor para todas as incógnitas: há um parâmetro livre. Podemos tomar c_2 como parâmetro t\in\mathbb{R}. Assim obtemos a solução geral:
Interpretação e causa: por que apareceu um parâmetro livre? Porque os quatro vetores dados não são linearmente independentes — isto é, apesar de estarem listados como “base” no enunciado, na prática há dependência linear entre eles. Uma relação explícita é fácil de verificar: eu posso ver que
Por consequência, as coordenadas de uma matriz em relação a esse conjunto não são únicas — há uma família de representações. Isso explica matematicamente o parâmetro t que apareceu.]
Passo 7
Mesmo com não unicidade, podemos dar uma solução concreta (útil na prova: muitas vezes basta apresentar uma coordenada). Tomando t=0 (a escolha mais simples), obtemos: