Determine as coordenadas do vertor v=\left[\begin{array}{rr}1 & -1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right] \in M_{2}(\mathbb{R}) na base
B=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as coordenadas do vetor (matriz) \displaystyle v=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix} em relação à base
B=\left\{\,\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\,\right\}.
Informações dadas (listas para ficar claro):
B_1=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad B_2=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad B_3=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix},\quad B_4=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
e a pergunta é: encontrar escalares \displaystyle c_1,c_2,c_3,c_4\in\mathbb{R} tais que
\displaystyle v=c_1B_1+c_2B_2+c_3B_3+c_4B_4.
(Pronto — identifiquei o que se pede e listei os dados. Agora vamos resolver.)]

Passo 2

O que significa “coordenadas na base”?
Significa achar os números \displaystyle c_1,c_2,c_3,c_4 (as coordenadas) que combinados com os vetores da base nos dão exatamente v. Se B fosse realmente uma base (conjunto linearmente independente que gera o espaço), essa representação seria única. Para encontrar os coeficientes, escrevemos a combinação linear e igualamos as quatro entradas da matriz (cada posição produz uma equação). Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Escrevo a combinação linear genérica:
c_1B_1+c_2B_2+c_3B_3+c_4B_4 = c_1\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 1 & 1\end{pmatrix} + c_4\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
Somando entrada a entrada obtemos a matriz:
\begin{pmatrix} c_1 + c_4 & c_1 + c_2 \\[4pt] c_2 + c_3 & c_3 + c_4 \end{pmatrix}.
Essa matriz tem de ser igual a v=\begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}. Igualando as entradas correspondentes chegamos ao sistema linear de quatro equações:
\begin{cases} c_1 + c_4 = 1,\\[4pt] c_1 + c_2 = -1,\\[4pt] c_2 + c_3 = 0,\\[4pt] c_3 + c_4 = 2. \end{cases}]

Passo 4

Agora resolvo o sistema de forma direta e bem mastigada. Primeiro isolo variáveis simples:
Da segunda equação:
c_1 = -1 - c_2.
Da terceira:
c_3 = -c_2.
Da quarta, substituindo c_3:
(-c_2) + c_4 = 2 \quad\Longrightarrow\quad c_4 = 2 + c_2.

Passo 5

Substituo c_1 e c_4 na primeira equação para verificar consistência:
c_1 + c_4 = (-1 - c_2) + (2 + c_2) = (-1+2) + (-c_2+c_2) = 1.
A equação fica 1=1, ou seja, é satisfeita para todo c_2. Isso mostra que o sistema não fixa um único valor para todas as incógnitas: há um parâmetro livre. Podemos tomar c_2 como parâmetro t\in\mathbb{R}. Assim obtemos a solução geral:
\begin{aligned} c_2 &= t,\\[4pt] c_1 &= -1 - t,\\[4pt] c_3 &= -t,\\[4pt] c_4 &= 2 + t. \end{aligned}
Em forma de coordenadas:
(c_1,c_2,c_3,c_4)=(-1-t,\; t,\; -t,\; 2+t),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 6

Interpretação e causa: por que apareceu um parâmetro livre? Porque os quatro vetores dados não são linearmente independentes — isto é, apesar de estarem listados como “base” no enunciado, na prática há dependência linear entre eles. Uma relação explícita é fácil de verificar: eu posso ver que
B_1 + B_3 = \begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}
e
B_2 + B_4 = \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]1&1\end{pmatrix}.
Logo B_1+B_3=B_2+B_4, que dá a dependência linear
B_1 - B_2 + B_3 - B_4 = 0.
Por consequência, as coordenadas de uma matriz em relação a esse conjunto não são únicas — há uma família de representações. Isso explica matematicamente o parâmetro t que apareceu.]

Passo 7

Mesmo com não unicidade, podemos dar uma solução concreta (útil na prova: muitas vezes basta apresentar uma coordenada). Tomando t=0 (a escolha mais simples), obtemos:
(c_1,c_2,c_3,c_4)=(-1,\,0,\,0,\,2).
Verificação rápida (checar sempre na prova):
-1\cdot B_1 + 0\cdot B_2 + 0\cdot B_3 + 2\cdot B_4 = -\begin{pmatrix}1&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} + 2\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -1 \\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}=v.
Tudo bate.]

Resposta

(c_1,c_2,c_3,c_4)=(-1-t,\;t,\;-t,\;2+t),\; t\in\mathbb{R}.
(-1,\,0,\,0,\,2)

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