Sejam
e
três bases ordenadas do
. Calcule:
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado dá três bases ordenadas de
:
Pede-se para calcular:
(a) ,
(b) ,
(c) ,
(d) .
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 2
O que significa
? É a matriz da aplicação identidade
quando escrevemos vetores com coordenadas na base
(domínio) e queremos as coordenadas na base
(contradomínio). A propriedade prática e útil é:
- Cada coluna de
é a coordenada, na base , do vetor que ocupa a respectiva posição na base .
Ou seja, para formar
eu tomo o primeiro vetor de
, escrevo-o como combinação linear dos vetores de
e coloco as coordenadas obtidas como primeira coluna; faço o mesmo para o segundo vetor de
e obtenho a segunda coluna. Vou resolver os sistemas lineares resultantes manualmente (substituição) — isso dá conta sem calculadora.
Passo 3
Calcular
.
- Escrever o primeiro vetor de
, que é , como combinação dos vetores de :
procuramostais que
Isso equivale ao sistema (coordenada a coordenada)
Da segunda coordenada
. Substituindo na primeira:
, logo
.
Portanto as coordenadas de
na base
são
.
- Agora o segundo vetor de
, que é : procuramos tais que
Isto é
Da segunda coordenada
. Substituindo:
então
.
Portanto as coordenadas de
na base
são
.
- Montando a matriz com essas colunas (ordem respeitando a ordem dos vetores em
):
Passo 4
Calcular
.
- Primeiro vetor de
é . Escrevemos . Igualando coordenadas:
Da primeira coordenada
.
Da segunda .
Da segunda
Assim as coordenadas de
na base
são
.
- Segundo vetor de
é . Escrevemos , isto é
Da primeira coordenada
.
Da segunda .
Da segunda
Assim as coordenadas de
na base
são
.
- Montando a matriz:
Passo 5
Calcular
diretamente (para conferir/comparar).
- Para
(primeiro de ) escrevemos :
Da primeira coordenada
.
Da segunda .
Da segunda
Logo as coordenadas de
na base
são
.
- Para
(segundo de ) escrevemos :
Da primeira coordenada
.
Da segunda .
Da segunda
Logo as coordenadas de
na base
são
.
- Montando a matriz:
Passo 6
Comentário sobre composição (útil para entender multiplicações): se
converte coordenadas de
para coordenadas em
, e
converte de
para
, então a composição que vai de
diretamente para
é
Note a ordem: primeiro aplica-se
(vai de
para
), depois
(de
para
). Por isso o produto
pedido em (d) é o produto na ordem contrária àquela que gera diretamente
; veremos isso numericamente.
Passo 7
Calcular o produto pedido em (d):
.
Usando as matrizes obtidas:
Multiplicando
:
Cálculo elemento a elemento:
Portanto
Observação final rápida: se você multiplicar na ordem
(ou seja,
), obtém exatamente
que calculamos no Passo 5; a ordem das matrizes na multiplicação importa.]
Resposta
(a)
\n
(b)
\n
(c)
\n
(d)
]