Sejam B_{1}=\{(1,0),(0,2)\}, B_{2}=\{(-1,0),(1,1)\} e B_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\} três bases ordenadas do \mathbb{R}^{2}. Calcule:
(a) [I]_{B_{1}}^{B_{2}}.
(b) [I]_{B_{2}}^{B_{3}}.
(c) [I]_{B_{1}}^{B_{3}}.
(d) [I]_{B_{1}}^{B_{2}} \cdot[I]_{B_{2}}^{B_{3}}

Passo 1

O enunciado dá três bases ordenadas de \mathbb{R}^2:
B_{1}=\{(1,0),(0,2)\},\quad B_{2}=\{(-1,0),(1,1)\},\quad B_{3}=\{(-1,-1),(0,-1)\}.
Pede-se para calcular:
(a) [I]_{B_{1}}^{B_{2}},
(b) [I]_{B_{2}}^{B_{3}},
(c) [I]_{B_{1}}^{B_{3}},
(d) [I]_{B_{1}}^{B_{2}}\cdot[I]_{B_{2}}^{B_{3}}.

Passo 2

O que significa [I]_{B_{u}}^{B_{v}}? É a matriz da aplicação identidade I:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 quando escrevemos vetores com coordenadas na base B_{u} (domínio) e queremos as coordenadas na base B_{v} (contradomínio). A propriedade prática e útil é:
  • Cada coluna de [I]_{B_{u}}^{B_{v}} é a coordenada, na base B_{v}, do vetor que ocupa a respectiva posição na base B_{u}.
Ou seja, para formar [I]_{B_{1}}^{B_{2}} eu tomo o primeiro vetor de B_{1}, escrevo-o como combinação linear dos vetores de B_{2} e coloco as coordenadas obtidas como primeira coluna; faço o mesmo para o segundo vetor de B_{1} e obtenho a segunda coluna. Vou resolver os sistemas lineares resultantes manualmente (substituição) — isso dá conta sem calculadora.

Passo 3

Calcular [I]_{B_{1}}^{B_{2}}.
  1. Escrever o primeiro vetor de B_{1}, que é (1,0), como combinação dos vetores de B_{2}:
    procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(-1,0)+\beta(1,1) = (1,0).
Isso equivale ao sistema (coordenada a coordenada)
(-\alpha+\beta,\\ \beta) = (1,0).
Da segunda coordenada \beta=0. Substituindo na primeira: -\alpha+0=1, logo \alpha=-1.
Portanto as coordenadas de (1,0) na base B_{2} são \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  1. Agora o segundo vetor de B_{1}, que é (0,2): procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(-1,0)+\beta(1,1)=(0,2).
Isto é
(-\alpha+\beta,\\ \beta)=(0,2).
Da segunda coordenada \beta=2. Substituindo: -\alpha+2=0 então \alpha=2.
Portanto as coordenadas de (0,2) na base B_{2} são \begin{pmatrix}2\\[2pt]2\end{pmatrix}.
  1. Montando a matriz com essas colunas (ordem respeitando a ordem dos vetores em B_{1}):
[I]_{B_{1}}^{B_{2}} = \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular [I]_{B_{2}}^{B_{3}}.
  1. Primeiro vetor de B_{2} é (-1,0). Escrevemos (-1,0)=a(-1,-1)+b(0,-1). Igualando coordenadas:
(-a,\\\ -a-b)=(-1,0).
Da primeira coordenada -a = -1 \Rightarrow a=1.
Da segunda -a-b=0 \Rightarrow -1-b=0 \Rightarrow b=-1.
Assim as coordenadas de (-1,0) na base B_{3} são \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
  1. Segundo vetor de B_{2} é (1,1). Escrevemos (1,1)=a(-1,-1)+b(0,-1), isto é
(-a,\\\ -a-b)=(1,1).
Da primeira coordenada -a = 1 \Rightarrow a=-1.
Da segunda -a-b = 1 \Rightarrow 1 - b = 1 \Rightarrow b=0.
Assim as coordenadas de (1,1) na base B_{3} são \begin{pmatrix}-1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  1. Montando a matriz:
[I]_{B_{2}}^{B_{3}} = \begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular [I]_{B_{1}}^{B_{3}} diretamente (para conferir/comparar).
  1. Para (1,0) (primeiro de B_{1}) escrevemos (1,0)=a(-1,-1)+b(0,-1):
(-a,\\\ -a-b)=(1,0).
Da primeira coordenada -a = 1 \Rightarrow a=-1.
Da segunda -a-b = 0 \Rightarrow 1 - b = 0 \Rightarrow b=1.
Logo as coordenadas de (1,0) na base B_{3} são \begin{pmatrix}-1\\[2pt]1\end{pmatrix}.
  1. Para (0,2) (segundo de B_{1}) escrevemos (0,2)=a(-1,-1)+b(0,-1):
(-a,\\\ -a-b)=(0,2).
Da primeira coordenada -a = 0 \Rightarrow a=0.
Da segunda -a-b = 2 \Rightarrow -b = 2 \Rightarrow b=-2.
Logo as coordenadas de (0,2) na base B_{3} são \begin{pmatrix}0\\[2pt]-2\end{pmatrix}.
  1. Montando a matriz:
[I]_{B_{1}}^{B_{3}} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Comentário sobre composição (útil para entender multiplicações): se P=[I]_{B_{1}}^{B_{2}} converte coordenadas de B_{1} para coordenadas em B_{2}, e Q=[I]_{B_{2}}^{B_{3}} converte de B_{2} para B_{3}, então a composição que vai de B_{1} diretamente para B_{3} é
[I]_{B_{1}}^{B_{3}} = Q\cdot P = [I]_{B_{2}}^{B_{3}}\cdot [I]_{B_{1}}^{B_{2}}.
Note a ordem: primeiro aplica-se P (vai de B_{1} para B_{2}), depois Q (de B_{2} para B_{3}). Por isso o produto [I]_{B_{1}}^{B_{2}}\cdot[I]_{B_{2}}^{B_{3}} pedido em (d) é o produto na ordem contrária àquela que gera diretamente [I]_{B_{1}}^{B_{3}}; veremos isso numericamente.

Passo 7

Calcular o produto pedido em (d): [I]_{B_{1}}^{B_{2}}\cdot[I]_{B_{2}}^{B_{3}}.
Usando as matrizes obtidas:
[I]_{B_{1}}^{B_{2}}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},\qquad [I]_{B_{2}}^{B_{3}}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}.
Multiplicando \begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}:
Cálculo elemento a elemento:
\begin{aligned} (1,1)&=(-1)\cdot 1 + 2\cdot(-1) = -1 -2 = -3,\\[4pt] (1,2)&=(-1)\cdot(-1) + 2\cdot 0 = 1 + 0 = 1,\\[4pt] (2,1)&=0\cdot 1 + 2\cdot(-1) = -2,\\[4pt] (2,2)&=0\cdot(-1) + 2\cdot 0 = 0. \end{aligned}
Portanto
[I]_{B_{1}}^{B_{2}}\cdot[I]_{B_{2}}^{B_{3}} = \begin{pmatrix}-3 & 1\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}.
Observação final rápida: se você multiplicar na ordem [I]_{B_{2}}^{B_{3}}\cdot[I]_{B_{1}}^{B_{2}} (ou seja, Q\cdot P), obtém exatamente [I]_{B_{1}}^{B_{3}} que calculamos no Passo 5; a ordem das matrizes na multiplicação importa.]

Resposta

(a) \displaystyle [I]_{B_{1}}^{B_{2}}=\begin{pmatrix}-1 & 2\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}\n
(b) \displaystyle [I]_{B_{2}}^{B_{3}}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}\n
(c) \displaystyle [I]_{B_{1}}^{B_{3}}=\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}\n
(d) \displaystyle [I]_{B_{1}}^{B_{2}}\cdot[I]_{B_{2}}^{B_{3}}=\begin{pmatrix}-3 & 1\\[4pt]-2 & 0\end{pmatrix}]

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