Considere as seguintes bases de R^3: beta1=(2,1,1),(1,-2,0),(0,0,2) e beta2= (1,2,0),(-2,-1,-1),(0,1,1). Determine a matriz [M]beta1^beta2 de passagem da base beta1 para a base beta2. Utilize a matriz obtida para calcular vbeta2 sendo vbeta1=(1,2,3).

Passo 1

O enunciado pede a matriz de passagem de beta1=u1,u2,u3 para beta2=w1,w2,w3 em R^3 e, em seguida, as coordenadas de um vetor v em beta2 sabendo que vbeta1=(1,2,3). Vamos escrever cada ui como combinação linear dos wj.

Passo 2

Para cada ui resolvemos
c1w1 + c2w2 + c3w3 = ui,
onde
w1=(1,2,0), w2=(-2,-1,-1), w3=(0,1,1),
e então (c1,c2,c3) será a coluna i de [M]beta1^beta2.

Passo 3

Para
ou seja
Daqui segue , . A primeira coluna de é .

Passo 4

Para
que dá , . A segunda coluna de é .

Passo 5

Para
resultando em , . A terceira coluna de é .

Passo 6

Montando as colunas achadas, a matriz de passagem de beta1 para beta2 é
[M]beta1^beta2 = 0 & -1 & -1 -1 & -1 & -tfrac12 0 & -1 & tfrac32

Passo 7

Para calcular vbeta2 fazemos
vbeta2 = [M]beta1^beta2 123 = 0 & -1 & -1 -1 & -1 & -tfrac12 0 & -1 & tfrac32 123 = -5-tfrac92tfrac52

Resposta

[M]beta1^beta2 = 0 & -1 & -1 -1 & -1 & -tfrac12 0 & -1 & tfrac32 , vbeta2 = l(-5,,-tfrac92,,tfrac52r)

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