Considere os seguintes dados experimentais:
(0,1), (1,2), (2,5), (-1,3)
Deseja-se ajustar uma parábola da forma y=a x^2+b x+c a esses dados, utilizando o método dos mínimos quadrados. Monte a matriz A e o vetor y correspondentes ao modelo quadrático. Em seguida, escreva explicitamente as matrizes A^T A e A^T y de modo que o sistema normal fique na forma:
A^T A v=A^T y, com v=(a, b, c)
Não é necessário resolver o sistema.
(1,5 ponto)

Passo 1

Temos os dados experimentais (0,1), (1,2), (2,5), (-1,3) e queremos ajustar o modelo quadrático
y = a x^2 + b x + c
pelos mínimos quadrados. Para isso, formamos a matriz de desenho A e o vetor vec y e, em seguida, montamos as equações normais
A^TA,vec v = A^Tvec y,com;vec v=(a,b,c)^T

Passo 2

Construímos A usando em cada linha l(xi^2,;xi,;1r) e vec y com as observações:
A = 0^2 & 0 & 1 1^2 & 1 & 1 2^2 & 2 & 1 (-1)^2 & -1 & 1 = 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 4 & 2 & 1 1 & -1 & 1 , vec y = 1253

Passo 3

Calculamos
A^TA = sum xi^4 & sum xi^3 & sum xi^2 sum xi^3 & sum xi^2 & sum xi sum xi^2 & sum xi & sum 1 = 0+1+16+1 & 0+1+8-1 & 0+1+4+1 0+1+8-1 & 0+1+4+1 & 0+1+2-1 0+1+4+1 & 0+1+2-1 & 4 = 18 & 8 & 6 8 & 6 & 2 6 & 2 & 4

Passo 4

Calculamos
A^Tvec y = sum xi^2,yi sum xi,yi sum yi = 0cdot1 + 1cdot2 + 4cdot5 + 1cdot3 0cdot1 + 1cdot2 + 2cdot5 -1cdot3 1+2+5+3 = 25911

Resposta

O sistema normal fica

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