Considere os vetores
(a) Aplique o processo de Gram-Schmidt ao conjunto
. (1,5 ponto)
(b) Escreva o vetor
como combinação linear dos vetores obtidos no item anterior. Dica: use os coeficientes de Fourier.
(1,0 ponto)
(b) Escreva o vetor
(1,0 ponto)
Passo 1
O enunciado dá três vetores em
e pede para aplicar Gram–Schmidt no conjunto
, obtendo uma base ortonormal
. Em seguida, queremos escrever
como combinação linear desses vetores usando os coeficientes de Fourier, ou seja,
.
Passo 2
Definimos
Calculemos o seu quadrado da norma:
Logo o primeiro vetor ortonormal é
Passo 3
Subtraímos de
a projeção sobre
:
Então
O quadrado da norma de
é
e o segundo vetor ortonormal fica
Passo 4
Agora projetamos
sobre
e
:
Subtraindo,
Calculamos
e assim
Passo 5
Para escrever
na base
, calculamos os coeficientes de Fourier
:
Passo 6
Assim a combinação linear de
na base ortonormal é