Considere os vetores
w1=(1,1,0,0), w2=(1,0,1,0), w3=(0,1,1,1)
(a) Aplique o processo de Gram-Schmidt ao conjunto w1, w2, w3. (1,5 ponto)
(b) Escreva o vetor v=(-4,8,0,6) como combinação linear dos vetores obtidos no item anterior. Dica: use os coeficientes de Fourier.
(1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^4 e pede para aplicar Gram–Schmidt no conjunto vec w1,vec w2,vec w3, obtendo uma base ortonormal e1,e2,e3. Em seguida, queremos escrever vec v como combinação linear desses vetores usando os coeficientes de Fourier, ou seja, ci=(vec v,ei).

Passo 2

Definimos
u1 = vec w1 = (1,1,0,0)
Calculemos o seu quadrado da norma:
|u1|^2 = 1^2 + 1^2 = 2
Logo o primeiro vetor ortonormal é
e1 = u1|u1| = (1,1,0,0)raiz2

Passo 3

Subtraímos de a projeção sobre :
Então
O quadrado da norma de é
e o segundo vetor ortonormal fica

Passo 4

Agora projetamos sobre e :
Subtraindo,
Calculamos
e assim

Passo 5

Para escrever vec v = (-4,8,0,6) na base ei, calculamos os coeficientes de Fourier ci = (vec v,ei):
c1 = (vec v,e1) = (-4,8,0,6)cdot(1,1,0,0)raiz2 = 4raiz2 = 2raiz2,
c2 = (vec v,e2) = (-4,8,0,6)cdot(1,-1,2,0)raiz6 = -12raiz6 = -2raiz6,
c3 = (vec v,e3) = (-4,8,0,6)cdot(-2,2,2,3)raiz21 = 42raiz21 = 2raiz21

Passo 6

Assim a combinação linear de vec v na base ortonormal é
vec v = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 = 2raiz2,e1 ;-;2raiz6,e2;+;2raiz21,e3

Resposta

e1 = dfrac(1,1,0,0)raiz2, e2 = dfrac(1,-1,2,0)raiz6, e3 = dfrac(-2,2,2,3)raiz21
vec v = 2raiz2,e1 ;-;2raiz6,e2;+;2raiz21,e3

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