1. Considere as seguintes especificações de predicados:
    \mathrm{D}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) : x derrota y
    \mathrm{F}(\mathrm{x}) : x é um time de futebol
    \mathrm{G}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) : x é um goleiro de y
    \mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y}) : x perde para y
    e as seguintes constantes
    a: Time 1
    b: Time 2
    para traduzir as seguintes sentenças em lógica de predicados:
    a) Todo time de futebol possui um goleiro.
    b) Se o Time1 derrota o Time 2, então o Time 1 não perde para todo time de futebol.
    c) O Time1 derrota algum time de futebol, que derrota o Time 2.

Passo 1

Estamos lidando com predicados sobre times de futebol e goleiros, em que \mathrm{D}(x,y) significa “ x derrota y”, \mathrm{F}(x) significa “ x é um time de futebol”, \mathrm{G}(x,y) significa “ x é goleiro de y”, \mathrm{P}(x,y) significa “ x perde para y”,
e as constantes a e b representam, respectivamente, o Time 1 e o Time 2.
Vamos traduzir as três sentenças para fórmulas da lógica de predicados.

Passo 2

“Todo time de futebol possui um goleiro” diz que, para cada x, se x é time de futebol então existe algum y que é goleiro de x.
\forall x\bigl(F(x)\to \exists y\,G(y,x)\bigr).

Passo 3

“Se o Time 1 derrota o Time 2, então o Time 1 não perde para todo time de futebol” afirma uma implicação cuja antecedente é D(a,b) e cujo consequente nega a afirmação “o Time 1 perde para todo time de futebol”. Negar “para todo x, se x é time então Time 1 perde para x” equivale a \neg\forall x\,(F(x)\to P(a,x)).
D(a,b)\;\to\;\neg\forall x\bigl(F(x)\to P(a,x)\bigr).

Passo 4

“O Time 1 derrota algum time de futebol, que derrota o Time 2” diz que existe um x tal que x é time de futebol, o Time 1 derrota x e x derrota o Time 2.
\exists x\bigl(F(x)\;\wedge\;D(a,x)\;\wedge\;D(x,b)\bigr).

Resposta

(a) \displaystyle \forall x\bigl(F(x)\to \exists y\,G(y,x)\bigr).
(b) \displaystyle D(a,b)\;\to\;\neg\forall x\bigl(F(x)\to P(a,x)\bigr).
(c) \displaystyle \exists x\bigl(F(x)\wedge D(a,x)\wedge D(x,b)\bigr).

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