Considere os seguintes eventos
A : A pessoa é de sexo masculino
B : A pessoa é de sexo feminino
C : A pessoa é Jovem
D : A pessoa é adulta
E : A pessoa tem mutuação
F : A pessoa não tem mutuação
Calcule:
A tabela mostra a presença de uma mutação genética em dois grupos etários e sexos distintos:
Masculino Feminino Total
Jovem Adulto Jovem Adulto
Com mutação 10 12 11 12 45
Sem mutação 15 10 12 8 45
Total 25 22 23 20 90
(a) P(A), P(B), P\text{(C)}, P(D), P(E) e P(F).
(b) P(E \cap B), P(E \cap A), P(F \cap B) e P(F \cap A).
(c) P(F \cup D), P(F \cup C), P(E \cup D), P(F \cup A) e P(E \cup B).
(d) P\left(F^{c}\right), P\left(A^{c}\right) e P\left(D^{c}\right).
(e) P(A \mid F), P(A \mid E), P(C \mid F), P(D \mid E) e P(J \mid B)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Eventos (dados pelo enunciado):
    • A : a pessoa é de sexo masculino.
    • B : a pessoa é de sexo feminino.
    • C : a pessoa é Jovem.
    • D : a pessoa é adulta.
    • E : a pessoa tem mutação.
    • F : a pessoa não tem mutação.
  • A tabela (peguei os números da tabela do enunciado) mostra as contagens em cada combinação:
    • Com mutação (evento E): masculino jovem 10, masculino adulto 12, feminino jovem 11, feminino adulto 12. Total 45.
    • Sem mutação (evento F): masculino jovem 15, masculino adulto 10, feminino jovem 12, feminino adulto 8. Total 45.
    • Totais por coluna: Masculino — jovem 25, adulto 22 (soma masculina 25+22=47). Feminino — jovem 23, adulto 20 (soma feminina 23+20=43). Total geral 90.
  • O enunciado pede:
    (a) P(A), P(B), P\text{(C)}, P(D), P(E) e P(F).
    (b) P(E\cap B), P(E\cap A), P(F\cap B) e P(F\cap A).
    (c) P(F\cup D), P(F\cup C), P(E\cup D), P(F\cup A) e P(E\cup B).
    (d) P\left(F^{c}\right), P\left(A^{c}\right) e P\left(D^{c}\right).
    (e) P(A\mid F), P(A\mid E), P(C\mid F), P(D\mid E) e P(J\mid B).
  • Observação sobre J: o enunciado pede P(J\mid B) mas não definiu J. Suspeito que J seja uma notação alternativa para “Jovem”, isto é, J=C. Não tenho certeza absoluta dessa escolha, portanto vou assumir que J=C (Jovem). Se isso estiver errado, não há como calcular P(J\mid B) sem definição de J.
  • Total de indivíduos: N=90. Todas as probabilidades serão calculadas pela razão entre número de casos favoráveis e N, salvo quando usar regras de probabilidade (união, complementar, condicional).

Passo 2

Revisão das fórmulas básicas (meteora curta, para você murmurar na prova):
  • Probabilidade clássica por frequência:
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de casos favoráveis}}{N},ºá
onde N é o total da amostra (aqui N=90).
  • Interseção por contagem: para eventos definidos por características combinadas (ex.: “feminino e com mutação”), soma-se as células correspondentes da tabela e divide-se por N.
  • União (regra geral):
P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y).
Explicação rápida: somamos as probabilidades e subtraímos a interseção para não contar duas vezes.
  • Complementar:
P(X^{c})=1-P(X).
  • Condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.
Interpretação: entre os casos em que B ocorre, qual fração também satisfaz A.
Vou usar essas fórmulas explicitamente em cada item, mostrando as contagens.

Passo 3

Calcular (a) P(A),P(B),P\text{(C)},P(D),P(E),P(F) usando contagens.
  • P(A): número de masculinos =47. Logo
P(A)=\frac{47}{90}.
  • P(B): número de femininos =43. Logo
P(B)=\frac{43}{90}.
  • P\text{(C)} (Jovem): total de jovens = masculino jovem 25 mais feminino jovem 23 = 48. Logo
P\text{(C)}=\frac{48}{90}=\frac{8}{15}.
  • P(D) (Adulto): total de adultos = masculino adulto 22 + feminino adulto 20 = 42. Logo
P(D)=\frac{42}{90}=\frac{7}{15}.
  • P(E) (com mutação): total 45. Logo
P(E)=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}.
  • P(F) (sem mutação): total 45. Logo
P(F)=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcular (b) interseções P(E\cap B),P(E\cap A),P(F\cap B),P(F\cap A) somando as células relevantes.
  • P(E\cap B): com mutação e feminino = feminino jovem 11 + feminino adulto 12 = 23. Logo
P(E\cap B)=\frac{23}{90}.
  • P(E\cap A): com mutação e masculino = masculino jovem 10 + masculino adulto 12 = 22. Logo
P(E\cap A)=\frac{22}{90}=\frac{11}{45}.
  • P(F\cap B): sem mutação e feminino = 12+8=20. Logo
P(F\cap B)=\frac{20}{90}=\frac{2}{9}.
  • P(F\cap A): sem mutação e masculino = 15+10=25. Logo
P(F\cap A)=\frac{25}{90}=\frac{5}{18}.

Passo 5

Calcular (c) uniões usando P(X\cup Y)=P(X)+P(Y)-P(X\cap Y). Vou mostrar as contas com numeradores (contagens) para ficar bem claro.
  • P(F\cup D): contagens: F tem 45, D tem 42, interseção F\cap D (sem mutação e adulto) = masculino adulto 10 + feminino adulto 8 = 18. Então numerador da união =45+42-18=69. Logo
P(F\cup D)=\frac{69}{90}=\frac{23}{30}.
  • P(F\cup C): F tem 45, C tem 48, interseção F\cap C (sem mutação e jovem) = 15+12=27. Numerador =45+48-27=66. Logo
P(F\cup C)=\frac{66}{90}=\frac{11}{15}.
  • P(E\cup D): E tem 45, D tem 42, interseção E\cap D (com mutação e adulto) = 12+12=24. Numerador =45+42-24=63. Logo
P(E\cup D)=\frac{63}{90}=\frac{7}{10}.
  • P(F\cup A): F tem 45, A tem 47, interseção F\cap A = 25. Numerador =45+47-25=67. Logo
P(F\cup A)=\frac{67}{90}.
  • P(E\cup B): E tem 45, B tem 43, interseção E\cap B = 23. Numerador =45+43-23=65. Logo
P(E\cup B)=\frac{65}{90}=\frac{13}{18}.

Passo 6

Calcular (d) complementares usando P(X^{c})=1-P(X).
  • P\left(F^{c}\right)=1-P(F)=1-\dfrac{45}{90}=\dfrac{45}{90}=\dfrac{1}{2}.
(obs.: aqui F^{c} é exatamente E, já que “ter mutação” é o complemento de “não ter mutação”.)
  • P\left(A^{c}\right)=1-P(A)=1-\dfrac{47}{90}=\dfrac{43}{90}.
  • P\left(D^{c}\right)=1-P(D)=1-\dfrac{42}{90}=\dfrac{48}{90}=\dfrac{8}{15}.

Passo 7

Calcular (e) probabilidades condicionais usando P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.
  • P(A\mid F)=\dfrac{P(A\cap F)}{P(F)}=\dfrac{\tfrac{25}{90}}{\tfrac{45}{90}}=\dfrac{25}{45}=\dfrac{5}{9}.
Interpretação: entre as pessoas sem mutação, 25 são masculinas de um total de 45; logo 5/9 dos sem mutação são masculinos.
  • P(A\mid E)=\dfrac{P(A\cap E)}{P(E)}=\dfrac{\tfrac{22}{90}}{\tfrac{45}{90}}=\dfrac{22}{45}.
  • P(C\mid F)=\dfrac{P(C\cap F)}{P(F)}=\dfrac{\tfrac{27}{90}}{\tfrac{45}{90}}=\dfrac{27}{45}=\dfrac{3}{5}.
(Explicação curta: entre os sem mutação, 27 são jovens de 45 no total.)
  • P(D\mid E)=\dfrac{P(D\cap E)}{P(E)}=\dfrac{\tfrac{24}{90}}{\tfrac{45}{90}}=\dfrac{24}{45}=\dfrac{8}{15}.
  • P(J\mid B): aqui aplico a suposição J=C (Jovem). Então
P(J\mid B)=P(C\mid B)=\frac{P(C\cap B)}{P(B)}=\frac{\tfrac{23}{90}}{\tfrac{43}{90}}=\frac{23}{43}.
Lembrete: isso assume que J representa “Jovem”. Se J for outra coisa, esse resultado não vale.

Resposta

(a) P(A)=\dfrac{47}{90}
(a) P(B)=\dfrac{43}{90}
(a) P\text{(C)}=\dfrac{48}{90}=\dfrac{8}{15}
(a) P(D)=\dfrac{42}{90}=\dfrac{7}{15}
(a) P(E)=\dfrac{45}{90}=\dfrac{1}{2}
(a) P(F)=\dfrac{45}{90}=\dfrac{1}{2}
(b) P(E\cap B)=\dfrac{23}{90}
(b) P(E\cap A)=\dfrac{22}{90}=\dfrac{11}{45}
(b) P(F\cap B)=\dfrac{20}{90}=\dfrac{2}{9}
(b) P(F\cap A)=\dfrac{25}{90}=\dfrac{5}{18}
(c) P(F\cup D)=\dfrac{69}{90}=\dfrac{23}{30}
(c) P(F\cup C)=\dfrac{66}{90}=\dfrac{11}{15}
(c) P(E\cup D)=\dfrac{63}{90}=\dfrac{7}{10}
(c) P(F\cup A)=\dfrac{67}{90}
(c) P(E\cup B)=\dfrac{65}{90}=\dfrac{13}{18}
(d) P\left(F^{c}\right)=\dfrac{1}{2}
(d) P\left(A^{c}\right)=\dfrac{43}{90}
(d) P\left(D^{c}\right)=\dfrac{48}{90}=\dfrac{8}{15}
(e) P(A\mid F)=\dfrac{5}{9}
(e) P(A\mid E)=\dfrac{22}{45}
(e) P(C\mid F)=\dfrac{3}{5}
(e) P(D\mid E)=\dfrac{8}{15}
(e) P(J\mid B)=\dfrac{23}{43} (assumindo J=C, isto é, J = Jovem)

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