A tabela a seguir apresenta o consumo diário de cálcio (em mg ) de 50 pessoas:
420
480
520
600
630
670
690
710
720
740
750
760
780
790
810
820
840
850
860
870
890
910
930
940
950
960
970
980
990
1000
1020
1040
1060
1080
1100
1120
1140
1160
1180
1200
1220
1240
1260
1280
1300
1320
1340
1360
1380
1400
(a) Determine o número de classes e a amplitude de cada classe.
(b) Construa a tabela de frequências completa.
(c) Elabore o histograma.
(d) Calcule a média, moda, mediana, variância e desvio padrão.
| 420 | 480 | 520 | 600 | 630 | 670 | 690 | 710 | 720 | 740 |
| 750 | 760 | 780 | 790 | 810 | 820 | 840 | 850 | 860 | 870 |
| 890 | 910 | 930 | 940 | 950 | 960 | 970 | 980 | 990 | 1000 |
| 1020 | 1040 | 1060 | 1080 | 1100 | 1120 | 1140 | 1160 | 1180 | 1200 |
| 1220 | 1240 | 1260 | 1280 | 1300 | 1320 | 1340 | 1360 | 1380 | 1400 |
(b) Construa a tabela de frequências completa.
(c) Elabore o histograma.
(d) Calcule a média, moda, mediana, variância e desvio padrão.
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas com os dados de consumo diário de cálcio (em mg) de 50 pessoas:
- (a) Determinar o número de classes e a amplitude de cada classe.
- (b) Construir a tabela de frequências completa.
- (c) Elaborar o histograma.
- (d) Calcular média, moda, mediana, variância e desvio padrão.
Informações fornecidas (peguei todos os valores da tabela enviada):
- São
observações. - Os valores ordenados (já fornecidos) vão de
até (mínimo , máximo ). - Faixa (amplitude total)
máximo mínimo .
Passo 2
Escolha do número de classes e cálculo da amplitude de classe.
Vou usar a regra de Sturges (uma escolha comum e prática quando não há outro critério no enunciado). A regra de Sturges diz:
onde
é o número de observações e
o nº de classes inteiro (arredondado).
Calculemos:
A amplitude total é
A amplitude de cada classe (largura)
será aproximadamente
Portanto vou usar
classes com amplitude
mg. Vou construir as classes iniciando em
e usando classes com inclusão à esquerda e exclusão à direita, salvo a última que incluo à direita para abranger o máximo. As classes serão:
Passo 3
Construção da tabela de frequências completa (contagem das observações em cada classe, frequência acumulada, frequência relativa e ponto médio da classe).
Primeiro conto quantos valores caem em cada classe (peguei os valores da tabela enviada e contei conforme os intervalos definidos):
- Classe 1:
. Valores nesta classe: . Frequência absoluta . - Classe 2:
. Valores: . . - Classe 3:
. Valores: . . - Classe 4:
. Valores: . . - Classe 5:
. Valores: . . - Classe 6:
. Valores: . . - Classe 7:
. Valores: . .
Verificação:
.
Agora monto as colunas úteis:
- Frequência acumulada
: soma das frequências até a classe . - Frequência relativa
. - Ponto médio da classe
(limite inferior + limite superior)/2.
Calculemos (vou apresentar as linhas):
- Classe 1:
, , , , . - Classe 2:
, , , , . - Classe 3:
, , , , . - Classe 4:
, , , , . - Classe 5:
, , , , . - Classe 6:
, , , , . - Classe 7:
, , , , .
Se quiser montar a tabela em colunas: Classe
.
Passo 4
Como elaborar o histograma (instruções práticas para desenhar) e dados dos retângulos.
Um histograma é formado por barras (retângulos) com base nos intervalos de classe e altura proporcional às frequências (ou às densidades quando as classes têm larguras diferentes). Aqui todas as classes têm a mesma largura
, então é suficiente usar a altura igual à frequência absoluta
(ou à frequência relativa
).
Para desenhar:
- No eixo horizontal (x): marque os limites das classes
. - No eixo vertical (y): marque as frequências
até o máximo (aqui máximo ). - Desenhe um retângulo em cada intervalo com altura igual a
: alturas 3, 4, 9, 11, 8, 7, 8 respectivamente. - Rotule o eixo y como “Frequência absoluta” ou “Número de pessoas” e o eixo x como “Consumo de cálcio (mg)”.
Se preferir fazer o histograma com densidade (área proporcional à frequência), a altura de cada barra seria
— mas não é necessário aqui porque todas as larguras são iguais.
Passo 5
Cálculo da média (explicação, fórmula e cálculo a partir dos dados exatos).
Fórmula da média aritmética de
observações
:
Aqui somei todas as observações (peguei os números da tabela e somei em blocos). A soma total é
Portanto
Observação prática: também poderia fazer a média aproximada pelo método agrupado usando
, com
os pontos médios; aqui usei a soma exata para obter o valor preciso.
Passo 6
Cálculo da mediana (explicação e cálculo).
Definição: para
par (aqui
), a mediana é a média entre a
-ésima e a
-ésima observações ordenadas, isto é entre a 25ª e a 26ª observação.
Da lista ordenada (peguei os valores conforme a tabela), a 25ª observação é
e a 26ª é
. Assim
Passo 7
Cálculo da moda (discussão sobre dados brutos e moda agrupada).
-
Moda nos dados brutos: procura-se o valor que mais se repete. Aqui todos os 50 valores são distintos (nenhum se repete), logo não há moda no sentido clássico (dataset amodal). Então se alguém pedir “modalidade” direi: não há moda (nenhum valor se repete).
-
Moda por agrupamento (estimativa modal a partir de classes): a classe modal é a que tem maior frequência absoluta — aqui é a classe
com . Podemos estimar a moda por interpolação dentro da classe modal com a fórmula (modo estimado para dados agrupados):
onde
é o limite inferior da classe modal,
a frequência da classe modal,
a anterior e
a seguinte, e
a largura da classe.
Aqui:
.
Também o ponto médio da classe modal é
, outra referência. Mas reforço: nos dados brutos não há repetição, então “sem moda” é a resposta exata;
mg é uma estimativa modal a partir da classe.
Passo 8
Cálculo da variância e do desvio padrão (escolha do estimador e cálculo numérico detalhado).
Vou calcular a variância amostral (estimador não-viciado), isto é:
Expliquei a segunda forma porque é prática: primeiro calculo
, depois subtraio
.
Eu calculei
(soma dos quadrados, obtida somando as quadraturas dos 50 valores). Também usei
e
(ver Passo 5).
Calculemos
:
Então
Agora a variância amostral:
Arredondando razoavelmente,
O desvio padrão amostral é
Observação: se alguém pedir a variância populacional (dividindo por
em vez de
), teríamos
e
. Mas escolhi a definição amostral usual (
no denominador).
Resposta
(a) Número de classes
; amplitude de cada classe
mg.
(b) Tabela de frequências completa:
[420,560): ,
,
,
[560,700): ,
,
,
[700,840): ,
,
,
[840,980): ,
,
,
[980,1120): ,
,
,
[1120,1260): ,
,
,
[1260,1400]: ,
,
,
[420,560):
[560,700):
[700,840):
[840,980):
[980,1120):
[1120,1260):
[1260,1400]:
(c) Histograma: barras nos intervalos
com alturas (frequências)
respectivamente (largura de cada barra
mg). Eixo
: consumo (mg); eixo
: frequência absoluta.
(d) Estatísticas:
- Média
. - Moda: nos dados brutos não há moda (nenhum valor se repete). Classe modal
( ); modo estimado por agrupamento (ponto médio da classe modal ). - Mediana
. - Variância amostral
(usei denominador ). - Desvio padrão amostral
.