A tabela a seguir apresenta o consumo diário de cálcio (em mg ) de 50 pessoas:
420 480 520 600 630 670 690 710 720 740
750 760 780 790 810 820 840 850 860 870
890 910 930 940 950 960 970 980 990 1000
1020 1040 1060 1080 1100 1120 1140 1160 1180 1200
1220 1240 1260 1280 1300 1320 1340 1360 1380 1400
(a) Determine o número de classes e a amplitude de cada classe.
(b) Construa a tabela de frequências completa.
(c) Elabore o histograma.
(d) Calcule a média, moda, mediana, variância e desvio padrão.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas com os dados de consumo diário de cálcio (em mg) de 50 pessoas:
  • (a) Determinar o número de classes e a amplitude de cada classe.
  • (b) Construir a tabela de frequências completa.
  • (c) Elaborar o histograma.
  • (d) Calcular média, moda, mediana, variância e desvio padrão.
Informações fornecidas (peguei todos os valores da tabela enviada):
  • São n=50 observações.
  • Os valores ordenados (já fornecidos) vão de 420 até 1400 (mínimo =420, máximo =1400).
  • Faixa (amplitude total) R = máximo - mínimo =1400-420.

Passo 2

Escolha do número de classes e cálculo da amplitude de classe.
Vou usar a regra de Sturges (uma escolha comum e prática quando não há outro critério no enunciado). A regra de Sturges diz:
k \approx 1 + 3{,}322\log_{10}(n),
onde n é o número de observações e k o nº de classes inteiro (arredondado).
Calculemos:
n=50,\qquad \log_{10}(50)\approx1{,}69897,
k \approx 1 + 3{,}322\cdot1{,}69897 \approx 6{,}645 \approx 7\\ \text{classes}.
A amplitude total é
R = 1400-420 = 980.
A amplitude de cada classe (largura) \,h será aproximadamente
h = \frac{R}{k} = \frac{980}{7}=140.
Portanto vou usar k=7 classes com amplitude h=140 mg. Vou construir as classes iniciando em 420 e usando classes com inclusão à esquerda e exclusão à direita, salvo a última que incluo à direita para abranger o máximo. As classes serão:
[420,560),\\ [560,700),\\ [700,840),\\ [840,980),\\ [980,1120),\\ [1120,1260),\\ [1260,1400].

Passo 3

Construção da tabela de frequências completa (contagem das observações em cada classe, frequência acumulada, frequência relativa e ponto médio da classe).
Primeiro conto quantos valores caem em cada classe (peguei os valores da tabela enviada e contei conforme os intervalos definidos):
  • Classe 1: [420,560). Valores nesta classe: 420,480,520. Frequência absoluta f_1=3.
  • Classe 2: [560,700). Valores: 600,630,670,690. f_2=4.
  • Classe 3: [700,840). Valores: 710,720,740,750,760,780,790,810,820. f_3=9.
  • Classe 4: [840,980). Valores: 840,850,860,870,890,910,930,940,950,960,970. f_4=11.
  • Classe 5: [980,1120). Valores: 980,990,1000,1020,1040,1060,1080,1100. f_5=8.
  • Classe 6: [1120,1260). Valores: 1120,1140,1160,1180,1200,1220,1240. f_6=7.
  • Classe 7: [1260,1400]. Valores: 1260,1280,1300,1320,1340,1360,1380,1400. f_7=8.
Verificação: \sum_{i=1}^7 f_i = 3+4+9+11+8+7+8 = 50 = n.
Agora monto as colunas úteis:
  • Frequência acumulada F_i: soma das frequências até a classe i.
  • Frequência relativa p_i = f_i/n.
  • Ponto médio da classe x_i^* = (limite inferior + limite superior)/2.
Calculemos (vou apresentar as linhas):
  • Classe 1: [420,560), f_1=3, F_1=3, p_1=3/50=0{,}06, x_1^*=(420+560)/2=490.
  • Classe 2: [560,700), f_2=4, F_2=7, p_2=4/50=0{,}08, x_2^*=630.
  • Classe 3: [700,840), f_3=9, F_3=16, p_3=9/50=0{,}18, x_3^*=770.
  • Classe 4: [840,980), f_4=11, F_4=27, p_4=11/50=0{,}22, x_4^*=910.
  • Classe 5: [980,1120), f_5=8, F_5=35, p_5=8/50=0{,}16, x_5^*=1050.
  • Classe 6: [1120,1260), f_6=7, F_6=42, p_6=7/50=0{,}14, x_6^*=1190.
  • Classe 7: [1260,1400], f_7=8, F_7=50, p_7=8/50=0{,}16, x_7^*=1330.
Se quiser montar a tabela em colunas: Classe \mid f_i \mid F_i \mid p_i \mid x_i^*.

Passo 4

Como elaborar o histograma (instruções práticas para desenhar) e dados dos retângulos.
Um histograma é formado por barras (retângulos) com base nos intervalos de classe e altura proporcional às frequências (ou às densidades quando as classes têm larguras diferentes). Aqui todas as classes têm a mesma largura h=140, então é suficiente usar a altura igual à frequência absoluta f_i (ou à frequência relativa p_i).
Para desenhar:
  • No eixo horizontal (x): marque os limites das classes 420,560,700,840,980,1120,1260,1400.
  • No eixo vertical (y): marque as frequências 0,1,2,\dots até o máximo (aqui máximo f_4=11).
  • Desenhe um retângulo em cada intervalo com altura igual a f_i: alturas 3, 4, 9, 11, 8, 7, 8 respectivamente.
  • Rotule o eixo y como “Frequência absoluta” ou “Número de pessoas” e o eixo x como “Consumo de cálcio (mg)”.
Se preferir fazer o histograma com densidade (área proporcional à frequência), a altura de cada barra seria f_i/h — mas não é necessário aqui porque todas as larguras são iguais.

Passo 5

Cálculo da média (explicação, fórmula e cálculo a partir dos dados exatos).
Fórmula da média aritmética de n observações x_1,\dots,x_n:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
Aqui somei todas as observações (peguei os números da tabela e somei em blocos). A soma total é
\sum_{i=1}^{50} x_i = 48\,030.
Portanto
\bar{x}=\frac{48\,030}{50}=960{,}6\\ \text{mg}.
Observação prática: também poderia fazer a média aproximada pelo método agrupado usando \bar{x}\approx \frac{1}{n}\sum f_i x_i^*, com x_i^* os pontos médios; aqui usei a soma exata para obter o valor preciso.

Passo 6

Cálculo da mediana (explicação e cálculo).
Definição: para n par (aqui n=50), a mediana é a média entre a \dfrac{n}{2}-ésima e a \left(\dfrac{n}{2}+1\right)-ésima observações ordenadas, isto é entre a 25ª e a 26ª observação.
Da lista ordenada (peguei os valores conforme a tabela), a 25ª observação é 950 e a 26ª é 960. Assim
\text{Mediana} = \frac{950+960}{2}=955\\ \text{mg}.

Passo 7

Cálculo da moda (discussão sobre dados brutos e moda agrupada).
  • Moda nos dados brutos: procura-se o valor que mais se repete. Aqui todos os 50 valores são distintos (nenhum se repete), logo não há moda no sentido clássico (dataset amodal). Então se alguém pedir “modalidade” direi: não há moda (nenhum valor se repete).
  • Moda por agrupamento (estimativa modal a partir de classes): a classe modal é a que tem maior frequência absoluta — aqui é a classe [840,980) com f_4=11. Podemos estimar a moda por interpolação dentro da classe modal com a fórmula (modo estimado para dados agrupados):
\text{Modo}_{\text{agrup}} \approx L + \frac{f_m - f_{m-1}}{2f_m - f_{m-1} - f_{m+1}}\cdot h,
onde L é o limite inferior da classe modal, f_m a frequência da classe modal, f_{m-1} a anterior e f_{m+1} a seguinte, e h a largura da classe.
Aqui: L=840,\\ f_m=11,\\ f_{m-1}=9,\\ f_{m+1}=8,\\ h=140.
\text{Modo}_{\text{agrup}} \approx 840 + \frac{11-9}{2\cdot11-9-8}\cdot140 =840+\frac{2}{22-17}\cdot140 =840+\frac{2}{5}\cdot140 =840+56=896\\ \text{mg (aprox.).}
Também o ponto médio da classe modal é x_4^*=910, outra referência. Mas reforço: nos dados brutos não há repetição, então “sem moda” é a resposta exata; 896 mg é uma estimativa modal a partir da classe.

Passo 8

Cálculo da variância e do desvio padrão (escolha do estimador e cálculo numérico detalhado).
Vou calcular a variância amostral (estimador não-viciado), isto é:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 =\frac{1}{n-1}\Big(\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2\Big).
Expliquei a segunda forma porque é prática: primeiro calculo \sum x_i^2, depois subtraio n\bar{x}^2.
Eu calculei \sum_{i=1}^{50} x_i^2 = 49\,177\,100 (soma dos quadrados, obtida somando as quadraturas dos 50 valores). Também usei n=50 e \bar{x}=960{,}6 (ver Passo 5).
Calculemos n\bar{x}^2:
\bar{x}^2 = 960{,}6^2 = 922\,752{,}36,
n\bar{x}^2 = 50\cdot922\,752{,}36 = 46\,137\,618.
Então
\sum x_i^2 - n\bar{x}^2 = 49\,177\,100 - 46\,137\,618 = 3\,039\,482.
Agora a variância amostral:
s^2 = \frac{3\,039\,482}{n-1}=\frac{3\,039\,482}{49}=62\,030{,}244897959\ldots
Arredondando razoavelmente,
s^2 \approx 62\,030{,}245\\ (\text{mg}^2).
O desvio padrão amostral é
s=\sqrt{s^2}\approx \sqrt{62\,030{,}245}\approx 249{,}06\\ \text{mg}.
Observação: se alguém pedir a variância populacional (dividindo por n em vez de n-1), teríamos \sigma^2\approx 60\,789{,}64 e \sigma\approx246{,}55. Mas escolhi a definição amostral usual ( n-1 no denominador).

Resposta

(a) Número de classes k=7; amplitude de cada classe h=140 mg.
(b) Tabela de frequências completa:
[420,560): f=3, F=3, p=0{,}06, x^*=490
[560,700): f=4, F=7, p=0{,}08, x^*=630
[700,840): f=9, F=16, p=0{,}18, x^*=770
[840,980): f=11, F=27, p=0{,}22, x^*=910
[980,1120): f=8, F=35, p=0{,}16, x^*=1050
[1120,1260): f=7, F=42, p=0{,}14, x^*=1190
[1260,1400]: f=8, F=50, p=0{,}16, x^*=1330
(c) Histograma: barras nos intervalos [420,560),[560,700),[700,840),[840,980),[980,1120),[1120,1260),[1260,1400] com alturas (frequências) 3,4,9,11,8,7,8 respectivamente (largura de cada barra =140 mg). Eixo x: consumo (mg); eixo y: frequência absoluta.
(d) Estatísticas:
  • Média \bar{x}=960{,}6\\ \text{mg}.
  • Moda: nos dados brutos não há moda (nenhum valor se repete). Classe modal [840,980) ( f=11); modo estimado por agrupamento \approx896\\ \text{mg} (ponto médio da classe modal =910\\ \text{mg}).
  • Mediana =955\\ \text{mg}.
  • Variância amostral s^2\approx62\,030{,}245\\ \text{mg}^2 (usei denominador n-1).
  • Desvio padrão amostral s\approx249{,}06\\ \text{mg}.

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