Derivada da função arco seno ou sen
:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações relevantes fornecidas (ou implícitas): é uma função de
(escrevo
); presume-se que
é diferenciável no ponto considerado; e que os valores de
ficam no intervalo onde
é definido (isto é,
, e para a derivada clássica precisamos de
).
A meta: provar passo a passo que
Informações relevantes fornecidas (ou implícitas):
A meta: provar passo a passo que
Passo 2
Fazemos uma substituição útil: defina
. Por definição de função inversa (no intervalo principal de
), isso implica
Aqui a ideia é trabalhar com essa igualdade e diferenciar ambos os lados em relação a
.
Passo 3
Vamos diferenciar a igualdade
em relação a
. Do lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação ao seu argumento é
, e multiplicamos pela derivada do argumento
. Do lado direito temos
. Assim obtemos
Explicando a regra da cadeia com calma: se
então
. Aqui
.
Passo 4
Isolando
na igualdade do Passo 3, temos
Isto já é um passo importante: a derivada de
está expressa em termos de
. Agora precisamos escrever
usando apenas
.
Passo 5
Usamos a identidade trigonométrica fundamental:
Aplicando com
e lembrando que
, obtemos
Tomando a raiz quadrada,
Por que tomamos a raiz positiva? Porque
retorna valores em
, e nesse intervalo
é não negativa, logo escolhemos a raiz positiva.
Passo 6
Substituindo
na expressão do Passo 4, obtemos a fórmula desejada:
Como
, isto significa exatamente
Passo 7
Condições de validade e observações importantes (pra hora da prova):
- É necessário que
seja diferenciável no ponto considerado (para existir ). - É necessário que
para que o denominador não seja zero. Se a derivada clássica é geralmente indefinida (tende a infinito ou não existe) — atenção a casos de limite lateral. - Lembre-se do motivo da raiz positiva:
retorna ângulos em , onde .
Passo 8
Dois exemplos rápidos para fixar e para você repetir na prova:
Exemplo 1: . Aqui
e
. Logo
Exemplo 1:
válido para
.
Exemplo 2: . Aqui
e
. Logo
Exemplo 2:
válido para
.
Passo 9
Bônus rápido (fórmula alternativa que ajuda a memorizar): se
é a função
restrita ao intervalo principal e
, então a regra para a derivada de uma inversa diz
Aplicando a cadeia para
multiplica por
e chegamos à mesma fórmula já vista.