Derivada da função arco seno ou sen { }^{-1} :
f(x)=\operatorname{arcsen}(u)
f^{\prime}(x)=\frac{u^{\prime}}{\sqrt{1-u^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(u(x)\bigr) e pede a derivada f'(x).
Informações relevantes fornecidas (ou implícitas): \displaystyle u é uma função de x (escrevo u(x)); presume-se que \displaystyle u é diferenciável no ponto considerado; e que os valores de \displaystyle u(x) ficam no intervalo onde \operatorname{arcsen} é definido (isto é, |u(x)|\le 1, e para a derivada clássica precisamos de |u(x)|<1).
A meta: provar passo a passo que
f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}.

Passo 2

Fazemos uma substituição útil: defina \displaystyle y(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(u(x)\bigr). Por definição de função inversa (no intervalo principal de \sin), isso implica
\sin\bigl(y(x)\bigr)=u(x).
Aqui a ideia é trabalhar com essa igualdade e diferenciar ambos os lados em relação a x.

Passo 3

Vamos diferenciar a igualdade \displaystyle \sin\bigl(y(x)\bigr)=u(x) em relação a x. Do lado esquerdo usamos a regra da cadeia: a derivada de \sin em relação ao seu argumento é \cos, e multiplicamos pela derivada do argumento y(x). Do lado direito temos u'(x). Assim obtemos
\cos\bigl(y(x)\bigr)\cdot y'(x)=u'(x).
Explicando a regra da cadeia com calma: se h(x)=\sin(v(x)) então h'(x)=\cos(v(x))\cdot v'(x). Aqui v(x)=y(x).

Passo 4

Isolando y'(x) na igualdade do Passo 3, temos
y'(x)=\frac{u'(x)}{\cos\bigl(y(x)\bigr)}.
Isto já é um passo importante: a derivada de \operatorname{arcsen}(u(x)) está expressa em termos de \cos(y(x)). Agora precisamos escrever \cos\bigl(y(x)\bigr) usando apenas u(x).

Passo 5

Usamos a identidade trigonométrica fundamental:
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
Aplicando com \theta=y(x) e lembrando que \sin\bigl(y(x)\bigr)=u(x), obtemos
\cos^2\bigl(y(x)\bigr)=1-\sin^2\bigl(y(x)\bigr)=1-u(x)^2.
Tomando a raiz quadrada,
\cos\bigl(y(x)\bigr)=\sqrt{\,1-u(x)^2\,}.
Por que tomamos a raiz positiva? Porque \operatorname{arcsen} retorna valores em \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr], e nesse intervalo \cos é não negativa, logo escolhemos a raiz positiva.

Passo 6

Substituindo \cos\bigl(y(x)\bigr)=\sqrt{1-u(x)^2} na expressão do Passo 4, obtemos a fórmula desejada:
y'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{\,1-u(x)^2\,}}.
Como \displaystyle y(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(u(x)\bigr), isto significa exatamente
\frac{d}{dx}\left[\operatorname{arcsen}\bigl(u(x)\bigr)\right]=\frac{u'(x)}{\sqrt{\,1-u(x)^2\,}}.

Passo 7

Condições de validade e observações importantes (pra hora da prova):
  • É necessário que \displaystyle u seja diferenciável no ponto considerado (para existir u'(x)).
  • É necessário que \displaystyle |u(x)|<1 para que o denominador \sqrt{1-u(x)^2} não seja zero. Se |u(x)|=1 a derivada clássica é geralmente indefinida (tende a infinito ou não existe) — atenção a casos de limite lateral.
  • Lembre-se do motivo da raiz positiva: \operatorname{arcsen} retorna ângulos em \bigl[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr], onde \cos\ge 0.

Passo 8

Dois exemplos rápidos para fixar e para você repetir na prova:
Exemplo 1: f(x)=\operatorname{arcsen}(2x). Aqui \displaystyle u(x)=2x e \displaystyle u'(x)=2. Logo
f'(x)=\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}},
válido para |x|<\tfrac{1}{2}.
Exemplo 2: f(x)=\operatorname{arcsen}\bigl(x^2\bigr). Aqui \displaystyle u(x)=x^2 e \displaystyle u'(x)=2x. Logo
f'(x)=\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}},
válido para |x|<1.

Passo 9

Bônus rápido (fórmula alternativa que ajuda a memorizar): se g é a função \sin restrita ao intervalo principal e g^{-1}=\operatorname{arcsen}, então a regra para a derivada de uma inversa diz
\bigl(g^{-1}\bigr)'(u)=\frac{1}{g'\bigl(g^{-1}(u)\bigr)}=\frac{1}{\cos\bigl(g^{-1}(u)\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}.
Aplicando a cadeia para g^{-1}\bigl(u(x)\bigr) multiplica por u'(x) e chegamos à mesma fórmula já vista.

Resposta

f'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u(x)^2}}

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