Calcule a derivada de y=\frac{1}{x} usando as seguintes regras de derivação:
A) \frac{d}{d x}\left(x^{n}\right)=n \cdot x^{n-1}
В) \left[\frac{u}{v}\right]{ }^{\prime}=\frac{u{ }^{\prime} \cdot v-v^{\prime} \cdot u}{v^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\frac{1}{x} e pede para calcular a derivada usando as duas regras fornecidas:
\text{A) }\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\cdot x^{n-1}
\text{B) }\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u' \cdot v - v' \cdot u}{v^{2}}
Informações relevantes que temos: a função é y=\frac{1}{x}, o domínio natural dessa função é x\neq 0 (pois não podemos dividir por zero), e podemos aplicar tanto a regra da potência quanto a regra do quociente conforme solicitado.

Passo 2

Vamos primeiro usar a regra A (regra da potência). A ideia é reescrever \frac{1}{x} como uma potência de x. Note que
\frac{1}{x}=x^{-1}.
Explicando a regra da potência: a fórmula \frac{d}{dx}\left(x^{n}\right)=n\cdot x^{n-1} diz que, para qualquer expoente n (inteiro, real, etc., quando a expressão faz sentido), a derivada reduz o expoente em uma unidade e multiplica pelo expoente original. Aqui as variáveis são: x é a variável independente e n é o expoente (no nosso caso n=-1).

Passo 3

Aplicando a regra da potência com n=-1:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(x^{-1}\right)=(-1)\cdot x^{-1-1}=(-1)\cdot x^{-2}.
Simplificando a notação de potência para fração:
(-1)\cdot x^{-2}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}.
Lembre que isso vale apenas para x\neq 0, porque a função original não está definida em x=0.

Passo 4

Agora usamos a regra B (regra do quociente) para verificar e aprender outra forma de chegar ao mesmo resultado. Na regra do quociente, identificamos u(x) e v(x) tais que y=\frac{u}{v}. Tomamos
u(x)=1,\qquad v(x)=x.
Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=0,\qquad v'(x)=1.

Passo 5

Substituímos na fórmula da regra do quociente:
\left[\frac{u}{v}\right]'=\frac{u' \cdot v - v' \cdot u}{v^{2}}=\frac{0\cdot x - 1\cdot 1}{x^{2}}=\frac{-1}{x^{2}}.
Ou seja,
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{x^{2}}.
Novamente, isso vale para x\neq 0.

Passo 6

Conclusão e comparação: ambos os métodos (potência e quociente) deram o mesmo resultado, o que é esperado. A forma -x^{-2} e a forma -\frac{1}{x^{2}} são equivalentes; escolha a que você achar mais conveniente na prova. Lembre-se sempre de indicar o domínio x\neq 0 quando for necessário.

Resposta

-\dfrac{1}{x^{2}}

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