Calcule a derivada de
usando as seguintes regras de derivação:
A)
В)
A)
В)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a derivada usando as duas regras fornecidas:
Informações relevantes que temos: a função é
, o domínio natural dessa função é
(pois não podemos dividir por zero), e podemos aplicar tanto a regra da potência quanto a regra do quociente conforme solicitado.
Passo 2
Vamos primeiro usar a regra A (regra da potência). A ideia é reescrever
como uma potência de
. Note que
Explicando a regra da potência: a fórmula
diz que, para qualquer expoente
(inteiro, real, etc., quando a expressão faz sentido), a derivada reduz o expoente em uma unidade e multiplica pelo expoente original. Aqui as variáveis são:
é a variável independente e
é o expoente (no nosso caso
).
Passo 3
Aplicando a regra da potência com
:
Simplificando a notação de potência para fração:
Lembre que isso vale apenas para
, porque a função original não está definida em
.
Passo 4
Agora usamos a regra B (regra do quociente) para verificar e aprender outra forma de chegar ao mesmo resultado. Na regra do quociente, identificamos
e
tais que
. Tomamos
Calculamos as derivadas de
e
:
Passo 5
Substituímos na fórmula da regra do quociente:
Ou seja,
Novamente, isso vale para
.
Passo 6
Conclusão e comparação: ambos os métodos (potência e quociente) deram o mesmo resultado, o que é esperado. A forma
e a forma
são equivalentes; escolha a que você achar mais conveniente na prova. Lembre-se sempre de indicar o domínio
quando for necessário.