Considere as seguintes funções de onda:
& Psi(x)=A e^i n x+B e^-i n x & Psi(x)=A^prime sen(n x)+B^prime cos (n x)
a) Prove que as duas funções são equivalentes.
b) Usando a função de onda (1), resolva o problema da partícula na caixa 1D num poço de potencial infinito. (apresente a solução completa)

Passo 1

O enunciado apresenta duas formas de escrever a mesma função de onda unidimensional:
Psi(x)=A e^i n x+B e^-i n x
e
Psi(x)=A'sin(n x)+B'cos(n x)
Na parte (a) vamos usar a identidade de Euler para mostrar que essas duas expressões são equivalentes. Na parte (b) vamos resolver o problema da partícula num poço infinito de potencial entre x=0 e x=a. Precisamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo, encontrar a solução geral, aplicar as condições de contorno Psi(0)=0 e Psi(a)=0 e normalizar.

Passo 2

Usando a identidade de Euler
e^inx=cos(nx)+isin(nx), e^-inx=cos(nx)-isin(nx),
substituímos em Psi(x)=A e^i n x+B e^-i n x para obter
Psi(x)=Al[cos(nx)+isin(nx)r] +Bl[cos(nx)-isin(nx)r]
Agrupando termos:
Psi(x)=(A+B)cos(nx)+i(A-B)sin(nx)
Comparando com Psi(x)=A'sin(nx)+B'cos(nx) vemos que basta escolher
B'=A+B, A'=i,(A-B),
ou inversamente
A=tfrac12(B'-iA'), B=tfrac12(B'+iA'),
o que prova a equivalência.

Passo 3

No poço infinito de potencial definimos
V(x)= 0, & 0<x<a, infty, & x<=0 ou x>= a
Dentro do poço ( 0<x<a) a equação de Schrödinger independente do tempo é
-hbar^22md^2Psidx^2=EPsi Longrightarrow d^2Psidx^2+k^2Psi=0,
com
k^2=2mEhbar^2

Passo 4

A solução geral desta equação é
Psi(x)=A,e^ikx+B,e^-ikx
Como já sabemos da parte (a), podemos também escrever
Psi(x)=A'sin(kx)+B'cos(kx)

Passo 5

Aplicando as condições de contorno:
Psi(0)=0
A'sin(0)+B'cos(0)=B'=0
Então Psi(x)=A'sin(kx). Em x=a, Psi(a)=0 implica
A'sin(ka)=0 Longrightarrow sin(ka)=0 Longrightarrow ka=npi, n=1,2,3,dots
Logo
kn=npia e En=hbar^2kn^22m =hbar^2pi^2n^22ma^2

Passo 6

A função de onda não-normalizada é
Psin(x)=A'nsin!l(tfracnpiaxr)
Para normalizar exigimos
integral0^al|Psin(x)r|^2dx=1 Longrightarrow |A'n|^2integral0^asin^2!l(tfracnpiaxr)dx=1
Como integral0^asin^2(tfracnpiax)dx=tfraca2, temos
|A'n|^2a2=1 Longrightarrow A'n=raiz2a

Resposta

A função de onda normalizada e os níveis de energia são
Psin(x)=raiz2a;sin!l(npiaxr), En=hbar^2pi^2n^22m,a^2, n=1,2,3,dots

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