a) Prove que as duas funções são equivalentes.
b) Usando a função de onda (1), resolva o problema da partícula na caixa 1D num poço de potencial infinito. (apresente a solução completa)
Passo 1
O enunciado apresenta duas formas de escrever a mesma função de onda unidimensional:
e
Na parte (a) vamos usar a identidade de Euler para mostrar que essas duas expressões são equivalentes. Na parte (b) vamos resolver o problema da partícula num poço infinito de potencial entre e . Precisamos escrever a equação de Schrödinger independente do tempo, encontrar a solução geral, aplicar as condições de contorno e e normalizar.
Passo 2
Usando a identidade de Euler
substituímos em para obter
Agrupando termos:
Comparando com vemos que basta escolher
ou inversamente
o que prova a equivalência.
Passo 3
No poço infinito de potencial definimos
Dentro do poço () a equação de Schrödinger independente do tempo é
com
Passo 4
A solução geral desta equação é
Como já sabemos da parte (a), podemos também escrever
Passo 5
Aplicando as condições de contorno: dá
Então . Em , implica
Logo
Passo 6
A função de onda não-normalizada é
Para normalizar exigimos
Como integral0^asin^2(tfracnpiax)dx=tfraca2, temos
|A'n|^2a2=1 Longrightarrow A'n=raiz2a
Resposta
A função de onda normalizada e os níveis de energia são