Considere as seguintes funções:
& f(x, y)=ln (x+y-1) & g(x, y)=e^x^2-y ; & h(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2 ; & i(x, y, z)=x^2 ln (x-y+z) & j(x, y, z)=1 / raizx^2+y^2+z^2-1
Em cada um dos itens abaixo faça o que se pede: Determine o domínio de f, g, h, i e j.
2) Estime f(1,1), f(e, 1), g(2,4), h(1,2), i(3,6,4) e j(1,3,-4).

Passo 1

O enunciado nos dá cinco funções de várias variáveis e pede duas coisas: ( 1) determinar o domínio de cada função, ou seja, o conjunto de pontos onde ela está bem definida; ( 2) estimar (calcular) valores pontuais dessas funções. Para isso vamos usar as condições de existência de logaritmo, radiciação e de denominador não zero.

Passo 2

Função f(x,y)=ln(x+y-1).
Para o logaritmo natural faz sentido somente argumento estritamente positivo, ou seja
x+y-1>0
Logo o domínio é
Df=(x,y)inR^2mid x+y>1

Passo 3

Função g(x,y)=e^x^2-y.
A exponencial está definida para todo número real no expoente, então não há restrição adicional.
Dg=R^2

Passo 4

Função h(x,y)=raiz36-9x^2-4y^2.
A raiz quadrada real exige que o radicando seja não negativo:
36-9x^2-4y^2>=0
Reescrevendo,
9x^2+4y^2<=36,
que é a região interna (com a fronteira) de uma elipse.
Dh=(x,y)inR^2mid 9x^2+4y^2<=36

Passo 5

Função i(x,y,z)=x^2ln(x-y+z).
O fator x^2 não impõe restrição, mas o logaritmo exige argumento positivo:
x-y+z>0
Assim
Di=(x,y,z)inR^3mid x-y+z>0

Passo 6

Função j(x,y,z)=1raizx^2+y^2+z^2-1.
Precisamos que o denominador seja real e não zero, logo
x^2+y^2+z^2-1>0 Longrightarrow x^2+y^2+z^2>1
Dj=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2>1

Passo 7

Agora calculamos os valores pedidos:
  • f(1,1)=ln(1+1-1)=ln(1)=0.
  • f(e,1)=ln(e+1-1)=ln(e)=1.
  • g(2,4)=e^2^2-4=e^4-4=e^0=1.
  • h(1,2)=raiz36-9cdot1^2-4cdot2^2=raiz36-9-16=raiz11approx3,32.
  • i(3,6,4)=3^2ln(3-6+4)=9ln(1)=9cdot0=0.
  • j(1,3,-4)=dfrac1raiz1^2+3^2+(-4)^2-1=dfrac1raiz1+9+16-1=dfrac1raiz25=0,2.

Resposta

Df=(x,y)inR^2mid x+y>1.
Dg=R^2.
Dh=(x,y)inR^2mid 9x^2+4y^2<=36.
Di=(x,y,z)inR^3mid x-y+z>0.
Dj=(x,y,z)inR^3mid x^2+y^2+z^2>1.
f(1,1)=0, f(e,1)=1, g(2,4)=1, h(1,2)approx3,32, i(3,6,4)=0, j(1,3,-4)=0,2

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