Encontre as derivadas parciais de
em
, e de
em
, sabendo que
e
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
, e as funções que relacionam
e
com
e
:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada de
em relação a
:
Derivada de
em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
.
Derivadas de
em relação a
e
:
Derivadas de
em relação a
e
:
Passo 4
Com todas as derivadas parciais calculadas, podemos aplicar a regra da cadeia para encontrar
e
.
A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Passo 5
Vamos substituir as derivadas encontradas nas fórmulas da regra da cadeia.
Para
:
Para
:
Passo 6
Finalmente, substituímos
e
nas expressões acima para obter as derivadas completamente em termos de
e
.
Resposta
As derivadas parciais de
em relação a
e
são: