Encontre as derivadas parciais de f em u, e de f em v, sabendo que f(x, y)=3 x^3 e^-2 y, x(u, v)=(5 u+1) v e y(u, v)=tg(u+v).

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função f(x, y) = 3x^3 e^-2y , e as funções que relacionam x e y com u e v :
x(u, v) = (5u + 1)v e y(u, v) = tan(u + v)
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de f em relação a u e v , ou seja, partial fpartial u e partial fpartial v . Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y .
Derivada de f em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x (3x^3 e^-2y) = 9x^2 e^-2y
Derivada de f em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y (3x^3 e^-2y) = -6x^3 e^-2y

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de x e y em relação a u e v .
Derivadas de x em relação a u e v :
partial xpartial u = 5v e partial xpartial v = 5u + 1
Derivadas de y em relação a u e v :
partial ypartial u = partialpartial u tan(u + v) = sec^2(u + v)
partial ypartial v = partialpartial v tan(u + v) = sec^2(u + v)

Passo 4

Com todas as derivadas parciais calculadas, podemos aplicar a regra da cadeia para encontrar partial fpartial u e partial fpartial v .
A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
partial fpartial u = partial fpartial x cdot partial xpartial u + partial fpartial y cdot partial ypartial u
partial fpartial v = partial fpartial x cdot partial xpartial v + partial fpartial y cdot partial ypartial v

Passo 5

Vamos substituir as derivadas encontradas nas fórmulas da regra da cadeia.
Para partial fpartial u :
partial fpartial u = 9x^2 e^-2y cdot 5v + (-6x^3 e^-2y) cdot sec^2(u + v)
Para partial fpartial v :
partial fpartial v = 9x^2 e^-2y cdot (5u + 1) + (-6x^3 e^-2y) cdot sec^2(u + v)

Passo 6

Finalmente, substituímos x(u, v) e y(u, v) nas expressões acima para obter as derivadas completamente em termos de u e v .

Resposta

As derivadas parciais de f em relação a u e v são:
partial fpartial u = 9((5u + 1)v)^2 e^-2tan(u + v) cdot 5v - 6((5u + 1)v)^3 e^-2tan(u + v) cdot sec^2(u + v)
partial fpartial v = 9((5u + 1)v)^2 e^-2tan(u + v) cdot (5u + 1) - 6((5u + 1)v)^3 e^-2tan(u + v) cdot sec^2(u + v)

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