Considere as seguintes funções de transferência:
G(s)=16s^2+3 s+16 G(s)=0,04s^2+0,02 s+0,04 G(s)=1,05 times 10^7s^2+1,6 times 10^3 s+1,05 times 10^7
(b) Determinar o fator de amortecimento (xi), a frequência natural (omegan), os tempos de acomodação (ts), de subida (tr), de pico (tp) e também o valor máximo atingido pela variável de saída.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada: o enunciado mostra três funções de transferência de sistemas de segunda ordem
G1(s)=16s^2+3s+16, G2(s)=0,04s^2+0,02s+0,04, G3(s)=1,05times10^7s^2+1,6times10^3s+1,05times10^7
O assunto é análise de sistemas de segunda ordem, em que a gente precisa achar, para cada caso:
  • o fator de amortecimento s^2 + 2,xi,omegan,s + omegan^2 ,
  • a frequência natural omegan=raiza0, xi=a12,omegan, ,
  • o tempo de acomodação tsapprox4xi,omegan, tp=piomeganraiz1-xi^2, tr=pi-arccos(xi)omeganraiz1-xi^2, (2 %),
  • o tempo de subida Mp=e^-xipiraiz1-xi^2, ymax=1+Mp(para step de 1 e ganho DC 1) ,
  • o tempo de pico ,
  • e o valor máximo da saída (overshoot).
    Pra isso, vamos usar as fórmulas clássicas dessa carinha aqui:
    Denominador padrão:
E as fórmulas de desempenho:
A partir do próximo passo a gente parte pra conta.

Passo 2

Sistema 1:
G1(s) tem denominador omegan1=raiz16=4, xi1=32cdot4=0,375 .
Aqui e .
Então

Passo 3

Agora os tempos e overshoot do sistema 1:
ts1=4xi1,omegan1 =40,375cdot4approx2,667;s,
tp1=piomegan1raiz1-xi1^2 =pi4raiz1-0,375^2 approx0,848;s,
tr1=pi-arccos(xi1)omegan1raiz1-xi1^2 =pi-arccos(0,375)4raiz1-0,375^2 approx0,528;s,
Mp1 =e^-xi1piraiz1-xi1^2 =e^-0,375piraiz1-0,375^2 approx0,281, ymax1=1+0,281approx1,281

Passo 4

Sistema 2:
G2(s) tem denominador omegan2=raiz0,04=0,2, xi2=0,022cdot0,2=0,05 .
Então e .

Passo 5

Tempos e overshoot do sistema 2:
ts2=4xi2,omegan2 =40,05cdot0,2=400;s,
tp2=pi0,2raiz1-0,05^2 approx15,73;s,
tr2=pi-arccos(0,05)0,2raiz1-0,05^2 approx8,11;s,
Mp2 =e^-0,05piraiz1-0,05^2 approx0,854, ymax2=1+0,854approx1,854

Passo 6

Sistema 3:
G3(s) tem denominador omegan3=raiz1,05times10^7approx3240,4, xi3=1,6times10^32cdot3240,4approx0,247 .
Logo , .

Passo 7

Tempos e overshoot do sistema 3:
ts3=40,247cdot3240,4approx0,005;s,
tp3=pi3240,4raiz1-0,247^2 approx0,0010;s,
tr3=pi-arccos(0,247)3240,4raiz1-0,247^2 approx0,00058;s,
Mp3 =e^-0,247piraiz1-0,247^2 approx0,449, ymax3=1+0,449approx1,449

Resposta

Sistema 1:
,
,s,
,s,
,s,
.
Sistema 2:
,
,s,
,s,
,s,
.
Sistema 3:
,
,s,
,s,
,s,
.

Exercícios relacionados