Determine: © Escreva a forma geral da tensão no capacitor, considerando neste caso os seguintes valores numéricos:
e
.
Passo 1
Beleza, mano! A questão pede pra gente escrever a forma geral da tensão no capacitor de um circuito RLC, sabendo que
- R₁ = R₂ = 10 kΩ
- L₁ = 200 H
- C₁ = 10 μF
Ou seja, é um circuito série R–L–C cujo comportamento a gente descreve por uma equação diferencial de segunda ordem. Pra resolver, vamos:
- Montar a equação diferencial homogênea (resposta natural).
- Encontrar os “zeros” (raízes) da equação característica, chamadas s₁ e s₂.
- Escrever a solução geral v_C(t) em função dessas raízes.
Passo 2
Como a gente quer a forma geral (sem fonte aplicada, só a resposta natural), montamos a equação diferencial para v_C(t). Num circuito série R–L–C, a corrente i(t) passa por todos em série e:
- A tensão em R_total = R₁+R₂ é R_eq·i(t).
- Em L, é L·di/dt.
- Em C, v_C(t).
Mas a relação entre i(t) e v_C(t) é i(t)=C·dv_C/dt.
Então, somando as quedas e igualando a zero:
R_eq·i(t) + L·(di/dt) + v_C(t) = 0
Substituindo i=C·dv_C/dt:
R_eq·C·dv_C/dt + L·d/dt[C·dv_C/dt] + v_C = 0
Que dá:
L·C·d²v_C/dt² + R_eq·C·dv_C/dt + v_C = 0
Então, somando as quedas e igualando a zero:
R_eq·i(t) + L·(di/dt) + v_C(t) = 0
Substituindo i=C·dv_C/dt:
R_eq·C·dv_C/dt + L·d/dt[C·dv_C/dt] + v_C = 0
Que dá:
L·C·d²v_C/dt² + R_eq·C·dv_C/dt + v_C = 0
Dividindo tudo por L·C:
d²v_C/dt² + (R_eq/(L))·dv_C/dt + (1/(L·C))·v_C = 0
d²v_C/dt² + (R_eq/(L))·dv_C/dt + (1/(L·C))·v_C = 0
Onde R_eq = R₁ + R₂ = 10 kΩ + 10 kΩ = 20 kΩ.
Passo 3
Agora a equação característica é
s² + (R_eq/L)·s + 1/(L·C) = 0
s² + (R_eq/L)·s + 1/(L·C) = 0
Vamos calcular os coeficientes:
R_eq/L = (20 000 Ω)/(200 H) = 100 s⁻¹
1/(L·C) = 1/(200 H · 10·10⁻⁶ F) = 1/(0,002) = 500 s⁻²
R_eq/L = (20 000 Ω)/(200 H) = 100 s⁻¹
1/(L·C) = 1/(200 H · 10·10⁻⁶ F) = 1/(0,002) = 500 s⁻²
Logo a eq. característica:
s² + 100·s + 500 = 0
s² + 100·s + 500 = 0
Resolvendo por fórmula de Bhaskara:
s_{1,2} = [–100 ± √(100² – 4·1·500)]/2
= [–100 ± √(10000 – 2000)]/2
= [–100 ± √8000]/2
= [–100 ± 20√20]/2
= –50 ± 10√20
s_{1,2} = [–100 ± √(100² – 4·1·500)]/2
= [–100 ± √(10000 – 2000)]/2
= [–100 ± √8000]/2
= [–100 ± 20√20]/2
= –50 ± 10√20
E como √20 ≈ 4,4721, fica
s₁ = –50 + 44,72 ≈ –5,28 s⁻¹
s₂ = –50 – 44,72 ≈ –94,72 s⁻¹
s₁ = –50 + 44,72 ≈ –5,28 s⁻¹
s₂ = –50 – 44,72 ≈ –94,72 s⁻¹
Passo 4
A solução geral da tensão no capacitor para essa equação homogênea é da forma
onde A e B são constantes que se determinam pelas condições iniciais (v_C(0) e i(0)).
Resposta
A forma geral da tensão no capacitor é
com