Esboce os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase de cada uma das funções de transferência: G(s)=100(s+1)s^2+10

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente “esboçar os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase” da função
G(s)=100,(s+1)s^2+10,
Conteúdo: diagrama de Bode (magnitude em dB e fase em graus), regras de pólos e zeros assintóticos (20 dB/dec por zero, –20 dB/dec por polo, +90°/zero e –90° por pólo de primeira ordem). Vamos precisar:
1) Identificar zeros e polos e suas frequências de canto.
2) Montar retas de magnitude juntando as inclinações.
3) Montar retas de fase juntando os saltos assintóticos.

Passo 2

Identificando zeros e polos:
  • Zero em ⇒ frequência de canto rad/s, contribuição +20 dB/dec e +90°.
  • Pólos na equação , frequência de canto rad/s. Como é par de pólos conjugados, somam –40 dB/dec após e –180° de fase total.
  • Ganho estático puro: .

Passo 3

Magnitude assintótica:
  1. Ganho em DC (ω→0): G(0)=100,(0+1)0^2+10=10010=10 ;Rightarrow;20log10(10)=20 dB
  2. Para ω<1, não apareceu nenhum canto: reta horizontal em 20 dB.
  3. Em ω=1 (zero): inclinação muda de 0 para +20 dB/dec.
  4. Em ω=3{,}16 (pólos): inclinação –40 dB/dec entra, então a nova inclinação passa de +20 para –20 dB/dec (porque +20–40=–20).
Resumo das retas de magnitude:
  • ω<1: nível constante em 20 dB.
  • 1<ω<3{,}16: sobe com +20 dB/dec.
  • ω>3{,}16: desce com –20 dB/dec.

Passo 4

Fase assintótica:
  • Cada zero real acrescenta +90° após a frequência de canto.
  • O par de pólos conjugados dá –180° após sua frequência de canto.
Assintoticamente (aproximando saltos imediatos):
  • ω<1: nenhum atuando ⇒ fase ≈0°.
  • 1<ω<3{,}16: zero “ligou” (+90°), pólos ainda “desligados” ⇒ fase ≈+90°.
  • ω>3{,}16: zero continua em +90°, pólos “ligaram” (–180°) ⇒ fase ≈+90°–180°=–90°.

Resposta

Diagrama de Bode assintótico de :
Magnitude (dB) versus log ω:
  • ω<1: reta em 20 dB (slope 0).
  • 1<ω<3{,}16: reta de inclinação +20 dB/dec, partindo de 20 dB em ω=1.
  • ω>3{,}16: reta de inclinação –20 dB/dec, cruzando o ponto de continuidade em ω=3{,}16.
Fase (graus) versus log ω:
  • ω<1: 0°.
  • 1<ω<3{,}16: +90°.
  • ω>3{,}16: –90°.

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