Esboce os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase de cada uma das funções de transferência:
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que desenhar os diagramas de Bode assintóticos (magnitude e fase) da função
Isso é conteúdo de sinais e sistemas/controle: a gente vai precisar identificar os polos, zeros e o ganho, achar as frequências de canto, montar as retas de magnitude (em dB vs. log ω) e as de fase (graus vs. log ω), usando as regras de “cada polo/zero dá tal inclinação ou deslocamento de fase”.
Passo 2
Primeiro, vamos listar fatores, polos, zeros e frequências de canto:
- Ganho puro:
. - Zero em
→ frequência de canto . - Polo em
(integrador) → “canto” em , slope –20 dB/dec desde o início. - Polos do segundo-ordem
: - frequência natural
, - razão de amortecimento
.
→ aproximamos como “um polo duplo em” dando –40 dB/dec acima de 3.
- frequência natural
- Polo em
→ frequência de canto , slope –20 dB/dec acima de 4.
Passo 3
Diagrama de magnitude (em dB):
- Primeiro calculamos o valor de referência em
: Então, em a reta-base está em +13 dB. - Para
: só o integrador atua → slope –20 dB/dec saindo de +13 dB em . - Em
: soma-se o polo duplo → slope muda de –20 dB/dec para –60 dB/dec (pois –20 + –40). - Em
: soma-se mais um polo → slope vai de –60 dB/dec para –80 dB/dec. - Em
: soma-se o zero → a inclinação sobe 20 dB/dec, de –80 para –60 dB/dec.
Você desenha retas com essas quebras em 3, 4 e 8 rad/s.
Passo 4
Diagrama de fase (em graus): cada fator dá um “escalonamento” de fase ao redor da frequência de canto (em escala log):
- Integrador
: fase constante –90°. - Polo duplo em
: fase vai de 0 a –180° entre 0,1·3=0,3 e 10·3=30 rad/s, passando –90° em ω=3. - Polo em 4: fase de 0 a –90° entre 0,4 e 40 rad/s, passando –45° em ω=4.
- Zero em 8: fase de 0 a +90° entre 0,8 e 80 rad/s, passando +45° em ω=8.
Somando tudo:
- Para ω≪0,3: só dá –90° (integrador).
- Entre 0,3 e 0,4: começa a cair até –90–90/2=–135° (parcial do 2º-ordem).
- Entre 0,4 e 3: chega perto de –90–180–45=–315° (integrador + polo duplo + início do polo em 4).
- Entre 3 e 8: estabiliza em –90–180–90=–360° (antes do zero).
- Acima de 8: zero soma +90°, a fase tende a –270° em alta frequência.
Você esboça essas trocas de –90°, –180°, etc., nas bandas de um década antes/depois de 3, 4 e 8.
Resposta
Diagrama assintótico de magnitude:
- Slope inicial –20 dB/dec (integrador) com 13 dB em ω=1.
- Em ω=3 passa a –60 dB/dec.
- Em ω=4 passa a –80 dB/dec.
- Em ω=8 a inclinação sobe para –60 dB/dec.
Diagrama assintótico de fase:
- ω≪0,3 rad/s: –90°.
- Entre 0,3–30 rad/s: desce até –270° (somando –180° do pólo duplo).
- Entre 0,4–40 rad/s: chega a –360° (inclui o polo em 4).
- Acima de 8 rad/s: sobe gradualmente para –270° (zero em 8).