Esboce os diagramas de Bode assintóticos de magnitude e de fase de cada uma das funções de transferência: G(s)=20(s+8)s(s^2+2 s+9)(s+4)

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que desenhar os diagramas de Bode assintóticos (magnitude e fase) da função
G(s)=20,(s+8)s,(s^2+2s+9),(s+4)
Isso é conteúdo de sinais e sistemas/controle: a gente vai precisar identificar os polos, zeros e o ganho, achar as frequências de canto, montar as retas de magnitude (em dB vs. log ω) e as de fase (graus vs. log ω), usando as regras de “cada polo/zero dá tal inclinação ou deslocamento de fase”.

Passo 2

Primeiro, vamos listar fatores, polos, zeros e frequências de canto:
  1. Ganho puro: .
  2. Zero em → frequência de canto .
  3. Polo em (integrador) → “canto” em , slope –20 dB/dec desde o início.
  4. Polos do segundo-ordem :
    • frequência natural ,
    • razão de amortecimento .
      → aproximamos como “um polo duplo em ” dando –40 dB/dec acima de 3.
  5. Polo em → frequência de canto , slope –20 dB/dec acima de 4.

Passo 3

Diagrama de magnitude (em dB):
  1. Primeiro calculamos o valor de referência em |G(j1)|approx 201+81cdotraiz1^2+2cdot1+9,(1+4) =2091cdotraiz12cdot5 =1805raiz12approx4,44 implies 20log10(4,44)approx 13,dB : Então, em a reta-base está em +13 dB.
  2. Para : só o integrador atua → slope –20 dB/dec saindo de +13 dB em .
  3. Em : soma-se o polo duplo → slope muda de –20 dB/dec para –60 dB/dec (pois –20 + –40).
  4. Em : soma-se mais um polo → slope vai de –60 dB/dec para –80 dB/dec.
  5. Em : soma-se o zero → a inclinação sobe 20 dB/dec, de –80 para –60 dB/dec.
Você desenha retas com essas quebras em 3, 4 e 8 rad/s.

Passo 4

Diagrama de fase (em graus): cada fator dá um “escalonamento” de fase ao redor da frequência de canto (em escala log):
  1. Integrador : fase constante –90°.
  2. Polo duplo em : fase vai de 0 a –180° entre 0,1·3=0,3 e 10·3=30 rad/s, passando –90° em ω=3.
  3. Polo em 4: fase de 0 a –90° entre 0,4 e 40 rad/s, passando –45° em ω=4.
  4. Zero em 8: fase de 0 a +90° entre 0,8 e 80 rad/s, passando +45° em ω=8.
    Somando tudo:
  • Para ω≪0,3: só dá –90° (integrador).
  • Entre 0,3 e 0,4: começa a cair até –90–90/2=–135° (parcial do 2º-ordem).
  • Entre 0,4 e 3: chega perto de –90–180–45=–315° (integrador + polo duplo + início do polo em 4).
  • Entre 3 e 8: estabiliza em –90–180–90=–360° (antes do zero).
  • Acima de 8: zero soma +90°, a fase tende a –270° em alta frequência.
Você esboça essas trocas de –90°, –180°, etc., nas bandas de um década antes/depois de 3, 4 e 8.

Resposta

Diagrama assintótico de magnitude:
  • Slope inicial –20 dB/dec (integrador) com 13 dB em ω=1.
  • Em ω=3 passa a –60 dB/dec.
  • Em ω=4 passa a –80 dB/dec.
  • Em ω=8 a inclinação sobe para –60 dB/dec.
Diagrama assintótico de fase:
  • ω≪0,3 rad/s: –90°.
  • Entre 0,3–30 rad/s: desce até –270° (somando –180° do pólo duplo).
  • Entre 0,4–40 rad/s: chega a –360° (inclui o polo em 4).
  • Acima de 8 rad/s: sobe gradualmente para –270° (zero em 8).

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