Considere as seguintes funções de transferência
H_{1}(s)=\frac{2}{0.2 s+4}
H_{2}(s)=\frac{3 s}{5 s+10}
H_{3}(s)=\frac{6 s}{5 s^{2}+s+2}
H_{4}(s)=\frac{12 s^{2}+4}{6 s^{2}+s+2}
Para cada função de transferência determine:
O tipo de filtro.

Passo 1

O enunciado fornece quatro funções de transferência e pede para, para cada uma, determinar o tipo de filtro. As funções são (copiadas do enunciado):
H_{1}(s)=\frac{2}{0.2 s+4}
H_{2}(s)=\frac{3 s}{5 s+10}
H_{3}(s)=\frac{6 s}{5 s^{2}+s+2}
H_{4}(s)=\frac{12 s^{2}+4}{6 s^{2}+s+2}
O que se pede para cada função: identificar se é low-pass (passe-baixas), high-pass (passe-altas), band-pass (passe-banda), band-stop / notch (rejeita-banda) ou outro tipo.

Passo 2

Como vamos classificar filtros — método que eu uso e que você pode usar na prova — explico de forma prática e sem enrolação:
  • Observação básica 1: comportamento em DC (frequência zero) é dado por s=0. Calcule H(0). Se H(0)=0 a saída é anulada em DC (sinal de baixa frequência é bloqueado) — isso indica que o filtro não passa DC (possível high-pass ou band-pass).
  • Observação básica 2: comportamento em alta frequência (frequência → ∞) pode ser obtido olhando os graus (ordens) dos polinômios no numerador e denominador, ou calculando \lim_{s\to\infty}H(s). Se \lim_{s\to\infty}H(s)=0 o filtro atenua altas frequências (sugestão de low-pass ou band-pass). Se \lim_{s\to\infty}H(s)= constante não-nulo, altas frequências são passadas.
  • Observação básica 3: se H(j\omega) tende a zero para \omega\to0 e para \omega\to\infty e tem ganho significativo em uma faixa intermediária, trata-se de band-pass. Se o ganho é grande nas extremidades (baixo e alto) e há uma frequência intermediária onde o ganho cai a zero (um zero puramente imaginário), é um band-stop (notch).
  • Observação básica 4: zeros em s=0 (fatores s no numerador) anulam o ganho em DC. Zeros puramente imaginários (soluções do numerador s=\pm j\omega_0) produzem nulos de magnitude em \omega_0 (notch), desde que não sejam cancelados por polos idênticos no denominador.
  • Em muitos casos é suficiente calcular H(0), \lim_{s\to\infty}H(s) e procurar zeros do numerador sobre o eixo imaginário para classificar o filtro.
Agora aplico isso a cada H_i passo a passo.

Passo 3

Calcule o ganho em DC:
H_1(0)=\frac{2}{0.2\cdot 0 +4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}=0{,}5.
Calcule o comportamento em alta frequência. Para s\to\infty a constante no numerador não cresce com s, enquanto o denominador cresce proporcional a s, então
\lim_{s\to\infty}H_1(s)=0.
Interpretação: o filtro dá ganho finito em DC e atenua em altas frequências → comportamento típico de um filtro passe-baixa (low-pass).
Um detalhe útil para a prova: reescrevendo
H_1(s)=\frac{2}{0.2s+4}=\frac{0{,}5}{0{,}05 s +1},
isto é um primeiro-ordem com ganho DC 0{,}5 e constante de tempo \tau=0{,}05, então frequência de corte em rad/s \omega_c=1/\tau=20\\ \text{rad/s}. Mas a classificação principal que interessa é: low-pass.

Passo 4

Calcule o ganho em DC:
H_2(0)=\frac{3\cdot 0}{5\cdot 0 +10}=0.
Logo há atenuação total em DC (zero em s=0). Calcule o limite em alta frequência. Para grandes s os termos de maior ordem dominam:
\lim_{s\to\infty}H_2(s)=\lim_{s\to\infty}\frac{3s}{5s+10}=\frac{3}{5}=0{,}6.
Interpretação: não passa DC, mas passa altas frequências (assintoticamente com ganho 3/5). Isso é o comportamento de um filtro passe-alta (high-pass) de primeira ordem.
Reescrevendo para ver o polo/corte:
H_2(s)=\frac{3}{5}\cdot\frac{s}{s+2},
logo frequência de corte \omega_c=2\\ \text{rad/s} e ganho em banda passante \tfrac{3}{5}. Classificação: high-pass.

Passo 5

Calcule o ganho em DC:
H_3(0)=\frac{6\cdot 0}{5\cdot 0^2 +0 +2}=0.
Calcule o comportamento em alta frequência. Para s\to\infty,
H_3(s)\approx\frac{6s}{5s^2}=\frac{6}{5s}\to 0.
Então H_3 tende a zero tanto em \omega\to0 quanto em \omega\to\infty. Isso é a assinatura típica de um filtro passe-banda (band-pass): atenua em DC e atenua em altas frequências, mas pode ter ganho numa faixa intermediária.
Um pouco mais de detalhe (útil na prova): escrever o denominador em forma padrão dividindo por 5:
5s^2+s+2=5\Bigl(s^2+\frac{1}{5}s+\frac{2}{5}\Bigr).
Comparando com a forma canônica de um passe-banda de segunda ordem (numerador proporcional a s), este é de fato um passe-banda. O polo pode gerar ressonância perto de \omega_n=\sqrt{2/5}\approx0{,}6325\\ \text{rad/s}, mas a classificação global é band-pass.

Passo 6

Primeiro o ganho em DC:
H_4(0)=\frac{12\cdot 0^2 +4}{6\cdot 0^2 +0 +2}=\frac{4}{2}=2.
Agora o limite em alta frequência: compare os termos de maior grau (ambos são grau 2):
\lim_{s\to\infty}H_4(s)=\frac{12 s^{2}}{6 s^{2}}=\frac{12}{6}=2.
Portanto o filtro tem ganho finito não nulo tanto em DC quanto em altas frequências (ambos iguais a 2). Isso já descarta low-pass puro, high-pass puro e band-pass (que teriam pelo menos uma extremidade com ganho zero).
Procure zeros no eixo imaginário (possibilidade de “notch”): zeros do numerador resolvem
12 s^{2}+4=0 \quad\Rightarrow\quad s^{2}=-\frac{4}{12}=-\frac{1}{3},
logo
s=\pm j\frac{1}{\sqrt{3}}=\pm j\omega_0,\qquad \omega_0=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}577\\ \text{rad/s}.
São zeros puramente imaginários: isto implica que em \omega=\omega_0 o ganho |H_4(j\omega_0)|=0 (a menos que o zero seja cancelado por um polo na mesma posição). Verificar se há cancelamento: avaliando o denominador em s=j\omega_0,
6s^2+s+2\Big|_{s=j\omega_0}=6(-\tfrac{1}{3})+j\omega_0+2 = -2 + j\omega_0 +2 = j\omega_0\neq 0,
portanto não há cancelamento. Conclusão: existe uma frequência \omega_0 na qual o ganho é nulo — isso é exatamente um filtro rejeita-banda (band-stop) do tipo notch.
Resumo da interpretação: passa sinais de baixa frequência (ganho 2), rejeita fortemente em \omega_0 (zero), e volta a passar em altas frequências (ganho 2). Classificação: band-stop / notch.

Resposta

H_{1}: passe-baixas (low-pass)
H_{2}: passe-altas (high-pass)
H_{3}: passe-banda (band-pass)
H_{4}: rejeita-banda / notch (band-stop)

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