Determine o ângulo de defasagem entre as senoides:
\mathrm{v}_{1}=5 \cos \left(10 \mathrm{t}+30^{\circ}\right)+
5 \operatorname{sen} 10 \mathrm{t}+5 \cos \left(10 \mathrm{t}+150^{\circ}\right) e
\mathrm{v}_{2}=25 \cos \left(10 \mathrm{t}-53,13^{\circ}\right)+13 \cos \left(10 \mathrm{t}-22,6^{\circ}\right)+
2sen10t

Passo 1

O enunciado pede: determinar o ângulo de defasagem entre as senoides \mathrm{v}_{1} e \mathrm{v}_{2}. Os sinais dados são:
\mathrm{v}_{1}=5\cos\!\bigl(10t+30^\circ\bigr)+5\sin(10t)+5\cos\!\bigl(10t+150^\circ\bigr)
\mathrm{v}_{2}=25\cos\!\bigl(10t-53,13^\circ\bigr)+13\cos\!\bigl(10t-22,6^\circ\bigr)+2\sin(10t)
As perguntas são: qual é a defasagem entre essas duas funções (em graus)? Vou trabalhar com manipulações trigonométricas e representação fasorial para encontrar resultados claros e verificáveis.

Passo 2

Regra útil (conversão seno → cosseno): explicando devagarinho — na prova vale decorar ou relembrar que
\sin\theta=\cos\!\bigl(\theta-90^\circ\bigr).
Isso permite escrever todo termo como cosseno com fase, o que facilita soma de sinais da mesma frequência. Aplicando à primeira função, reescrevo o termo \;5\sin(10t)\; como
5\sin(10t)=5\cos\!\bigl(10t-90^\circ\bigr).
Então
\mathrm{v}_1=5\cos\!\bigl(10t+30^\circ\bigr)+5\cos\!\bigl(10t-90^\circ\bigr)+5\cos\!\bigl(10t+150^\circ\bigr).

Passo 3

Agora uso a identidade soma de cossenos — também muito útil na prova:
\cos A+\cos B=2\cos\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Aplico essa identidade aos dois termos 5\cos(10t+30^\circ) e 5\cos(10t+150^\circ). Tomando A=10t+30^\circ e B=10t+150^\circ:
A+B=20t+180^\circ\quad\Rightarrow\quad\frac{A+B}{2}=10t+90^\circ,
A-B=(30^\circ-150^\circ)=-120^\circ\quad\Rightarrow\quad\frac{A-B}{2}=-60^\circ.
Portanto
5\cos\!\bigl(10t+30^\circ\bigr)+5\cos\!\bigl(10t+150^\circ\bigr) =2\cdot5\cos\!\bigl(10t+90^\circ\bigr)\cos(-60^\circ).
Como \cos(-60^\circ)=\cos(60^\circ)=\tfrac{1}{2}, o fator 2 cancela com \tfrac{1}{2} e obtemos
5\cos\!\bigl(10t+30^\circ\bigr)+5\cos\!\bigl(10t+150^\circ\bigr)=5\cos\!\bigl(10t+90^\circ\bigr).
Lembre-se que \cos(\varphi+90^\circ)=-\sin\varphi, logo
5\cos\!\bigl(10t+90^\circ\bigr)=-5\sin(10t).

Passo 4

Substituo esse resultado em \mathrm{v}_1:
\mathrm{v}_1 = \bigl[5\cos(10t+30^\circ)+5\cos(10t+150^\circ)\bigr] + 5\sin(10t) = -5\sin(10t)+5\sin(10t)=0.
Conclusão importante e direta: \mathrm{v}_1 é identicamente nula para todo t:
\mathrm{v}_1\equiv 0.
Interpretação física/matemática: um sinal de amplitude zero não tem fase definida (fase só faz sentido quando há um senoide com amplitude não nula).

Passo 5

Para ficar bem completo, calculo o fasor/resultante de \mathrm{v}_2 (aprender a somar fasores é muito útil na prova). Converto cada termo para fasor (cosseno já está em forma adequada; \;2\sin(10t)=2\cos(10t-90^\circ)\;):
B_1=25\angle(-53,13^\circ),\qquad B_2=13\angle(-22,6^\circ),\qquad B_3=2\angle(-90^\circ).
É prático passar para componentes retangulares usando que \cos(53,13^\circ)=0,6,\\ \sin(53,13^\circ)=0,8 e \cos(22,6^\circ)=\tfrac{12}{13},\\ \sin(22,6^\circ)=\tfrac{5}{13}. Assim:
B_1=25(\,0{,}6 - j0{,}8)=15 - j20,
B_2=13\Bigl(\tfrac{12}{13} - j\tfrac{5}{13}\Bigr)=12 - j5,
B_3=0 - j2.
Somando:
B_{\text{res}}=(15+12+0)+j(-20-5-2)=27 - j27.
Agora magnitude e fase:
|B_{\text{res}}|=27\sqrt{2},\qquad \angle B_{\text{res}}=\tan^{-1}\!\Bigl(\frac{-27}{27}\Bigr)=-45^\circ.
Logo
\mathrm{v}_2=27\sqrt{2}\cos\!\bigl(10t-45^\circ\bigr).

Passo 6

Síntese final: \mathrm{v}_1 é o sinal nulo ( 0) e \mathrm{v}_2 é um senoide com fase -45^\circ. A defasagem entre dois sinais só é bem definida quando ambos têm amplitude não nula. Como \mathrm{v}_1\equiv0, não há uma defasagem significativa/definida entre \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2.

Resposta

\mathrm{v}_1\equiv 0, portanto a defasagem entre \mathrm{v}_1 e \mathrm{v}_2 é indefinida.

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