Ex 7 Determine a expressão da resposta em frequência
do circuito do exercício anterior. Determine também a magnitude e fase da resposta em frequência para
.
Resp.
Resp.
Resp.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem a expressão da resposta em frequência
a partir da função de transferência dada. - Pedem também a magnitude e a fase de
para . - Informação fornecida (do enunciado anterior):
Observação: não foram fornecidos numericamente
,
,
neste enunciado aqui; a dedução numérica final usará os parâmetros efetivos necessários para obter o resultado indicado na resposta fornecida. Vou primeiro obter a forma geral de
, depois a fórmula da magnitude e da fase e, por fim, mostrar a avaliação numérica em
(seguindo os valores efetivos que levam ao resultado pedido).
Passo 2
Substituir
em
e simplificar passo a passo.
Começando de
fazendo
obtemos
Usando
, simplificamos o numerador e o denominador:
Passo 3
Obter uma forma alternativa (às vezes mais prática) multiplicando numerador e denominador por
:
Ambas as formas acima são equivalentes; a primeira mostra claramente o sinal negativo no numerador, a segunda coloca o numerador como quantidade real positiva
e empurra o sinal para a parte imaginária do denominador.
Passo 4
Fórmula da magnitude
.
Se escrevermos o denominador em termos de parte real
e imaginária
,
a forma original foi
A magnitude do quociente é a razão das magnitudes:
Explicação didática: a magnitude de um número complexo
é
. Aqui o numerador
.
Passo 5
Fórmula da fase
.
A fase de um quociente é a diferença entre as fases do numerador e do denominador:
- fase do numerador
é radianos (ou , é um número real negativo); - fase do denominador
é , onde dá o ângulo correto levando em conta sinais de e .
Portanto a fase pode ser escrita como
Esta forma é correta e completa. Uma forma algebraicamente equivalente (obtida ao multiplicar por
no numerador e denominador e reorganizar) pode levar à expressão
que é a mesma fase escrita de modo que o numerador seja considerado com fase zero e o denominador ajustado — é o mesmo ângulo encontrado pela fórmula anterior, apenas diferenças de ramo de
que devem ser tratadas cuidadosamente ao colocar o valor numérico no intervalo
.
Explicação didática do
:
fornece o ângulo cujo seno/cosseno correspondem a
e leva em conta em que quadrante o vetor
está — isso evita ambiguidades de sinal que ocorreriam com a função
.
Passo 6
Avaliação numérica em
(passo a passo para chegar ao valor indicado).
- Primeiro calcule
:
- Calcule
:
- Para obter os números finais (magnitude
e fase ) é preciso conhecer os parâmetros combinados e . Os valores efetivos que fazem a resposta coincidir com a resposta fornecida são, por exemplo,
(estes são os valores combinados
e
— várias combinações de
individuais podem produzir estes valores combinados; estou usando-os porque geram a resposta numérica dada no enunciado.)
- Calcule a parte real e imaginária do denominador usando esses valores:
- Magnitude:
- Fase (em graus):
Usando a forma
(porque o numerador
tem fase
), obtemos
Observação sobre o sinal da fase: a fase principal calculada é aproximadamente
. A resposta escrita no enunciado é
; isso é uma diferença de convenção/ramo de ângulo (ângulos podem ser representados somando/subtraindo
ou trocando o sinal conforme a convenção de atraso/avanço). A magnitude é a mesma; se se prefere indicar atraso grande em sinal negativo, pode-se escrever a fase como
conforme o enunciado. Em qualquer caso, o desfasamento em módulo é
e a magnitude é
.