Considere as seguintes funções de transferência
H_{1}(s)=\frac{2}{0.2 s+4}
H_{2}(s)=\frac{3 s}{5 s+10}
H_{3}(s)=\frac{6 s}{5 s^{2}+s+2}
H_{4}(s)=\frac{12 s^{2}+4}{6 s^{2}+s+2}
Para cada função de transferência determine:
Se o filtro for de primeira ordem, a frequência de corte \omega_{c} e se o filtro for de segunda ordem, a frequência central \omega_{0}, fator de amortecimento e fator de qualidade do filtro

Passo 1

O enunciado fornece quatro funções de transferência:
H_{1}(s)=\frac{2}{0{,}2\,s+4}, \qquad H_{2}(s)=\frac{3s}{5s+10}, \qquad H_{3}(s)=\frac{6s}{5s^{2}+s+2}, \qquad H_{4}(s)=\frac{12s^{2}+4}{6s^{2}+s+2}.
O que pede para cada função é:
  • Se for filtro de primeira ordem: determinar a frequência de corte \omega_{c}.
  • Se for filtro de segunda ordem: determinar a frequência central \omega_{0}, o fator de amortecimento \zeta e o fator de qualidade Q.
Informações relevantes dadas (as quatro funções acima) são todas as que precisamos. A partir daqui vamos, uma a uma, reescrever cada função numa forma padrão e extrair os parâmetros pedidos.

Passo 2

Conceitos e formas padrão (mini-aula rápida e prática):
  • Filtro de primeira ordem (forma padrão para baixa frequência): \displaystyle H(s)=\frac{K}{1+\tau s}=\frac{K\omega_c}{s+\omega_c}, onde \tau é a constante de tempo e \omega_c=\dfrac{1}{\tau} é a frequência de corte em rad/s. Para filtro passa-alta de primeira ordem a forma típica é \displaystyle H(s)=K\frac{s}{s+\omega_c}.
  • Filtro de segunda ordem (forma canônica): \displaystyle H(s)=\frac{K\omega_0^2}{s^2+2\zeta\omega_0 s+\omega_0^2} (passa-baixa padrão) ou, em forma normalizada do denominador,
s^2+\frac{\omega_0}{Q}s+\omega_0^2,
onde \displaystyle \frac{\omega_0}{Q}=2\zeta\omega_0 e portanto \displaystyle Q=\frac{1}{2\zeta}.
  • Procedimento prático: dividir o numerador e denominador pelo coeficiente do termo s^2 (se houver) para comparar com s^2+2\zeta\omega_0 s+\omega_0^2. Para ordem 1, reescrever denominador em forma 1+\tau s ou s+\omega_c.
Vou aplicar isso a cada H_i, mostrando passo a passo as contas.

Passo 3

Análise de H_{1}(s)=\dfrac{2}{0{,}2s+4}.
  1. Identificar ordem: denominador é do tipo linear em s (grau 1) → filtro de primeira ordem.
  2. Colocar em forma 1+\tau s. Factorizando 4:
0{,}2s+4 = 4\bigl(0{,}05s+1\bigr).
Logo
H_1(s)=\frac{2}{4(0{,}05s+1)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{0{,}05s+1}.
  1. Comparando com \dfrac{K}{1+\tau s} temos \tau=0{,}05 s e, portanto,
\omega_c=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{0{,}05}=20\\ \text{rad/s}.
Comentário prático: também dá para ver escrevendo 0{,}05s+1=\dfrac{s}{20}+1=\dfrac{s+20}{20}, o polo está em s=-20, então a frequência de corte é \omega_c=20.

Passo 4

Análise de H_{2}(s)=\dfrac{3s}{5s+10}.
  1. Identificar ordem: denominador linear → primeira ordem. Note que o numerador tem um fator s, logo é um passa-alta de primeira ordem (zero em s=0).
  2. Colocar em forma padrão \dfrac{K s}{s+\omega_c}. Factorizando 5 no denominador:
5s+10 = 5(s+2),
H_2(s)=\frac{3s}{5(s+2)}=\frac{3}{5}\cdot\frac{s}{s+2}.
  1. Comparando com \dfrac{K s}{s+\omega_c} obtemos \omega_c=2\\ \text{rad/s}.

Passo 5

Análise de H_{3}(s)=\dfrac{6s}{5s^{2}+s+2}.
  1. Identificar ordem: denominador é de grau 2 → filtro de segunda ordem. O numerador proporcional a s sugere uma resposta do tipo band-pass (ou pelo menos um termos de ordem 1 no numerador), mas para os parâmetros pedidos só precisamos normalizar o denominador.
  2. Dividir numerador e denominador pelo coeficiente de s^2 (que é 5) para colocar o denominador na forma s^{2}+2\zeta\omega_0 s+\omega_0^2:
H_3(s)=\frac{6s}{5\bigl(s^{2}+\tfrac{1}{5}s+\tfrac{2}{5}\bigr)} =\frac{6}{5}\cdot\frac{s}{s^{2}+\tfrac{1}{5}s+\tfrac{2}{5}}.
  1. Comparar o denominador com s^{2}+2\zeta\omega_0 s+\omega_0^2. Assim:
\omega_0^2=\frac{2}{5}=0{,}4, \qquad 2\zeta\omega_0=\frac{1}{5}=0{,}2.
  1. Calcular \omega_0:
\omega_0=\sqrt{0{,}4}=0{,}632455\ldots\approx0{,}63246\\ \text{rad/s}.
  1. Calcular \zeta a partir de 2\zeta\omega_0=0{,}2:
\zeta=\frac{0{,}2}{2\omega_0}=\frac{0{,}1}{\omega_0} =\frac{0{,}1}{0{,}632455\ldots}\approx0{,}15811.
  1. Calcular Q por \displaystyle Q=\frac{1}{2\zeta}:
Q=\frac{1}{2\cdot0{,}15811}\approx3{,}16228.
Observação: alternativamente pode-se usar a forma s^{2}+(\omega_0/Q)s+\omega_0^2 e calcular Q=\omega_0/(1/5)=\dfrac{0{,}63246}{0{,}2}\approx3{,}1623, dá o mesmo resultado.

Passo 6

Análise de H_{4}(s)=\dfrac{12s^{2}+4}{6s^{2}+s+2}.
  1. Identificar ordem: denominador é de grau 2 → filtro de segunda ordem. (O numerador é do mesmo grau, então o filtro pode ter ganho não-nulo em DC; ainda assim os parâmetros pedidos vêm do denominador).
  2. Normalizar o denominador dividindo por 6:
6s^{2}+s+2 = 6\bigl(s^{2}+\tfrac{1}{6}s+\tfrac{1}{3}\bigr),
H_4(s)=\frac{12s^{2}+4}{6\bigl(s^{2}+\tfrac{1}{6}s+\tfrac{1}{3}\bigr)} =\frac{12s^{2}+4}{6}\cdot\frac{1}{s^{2}+\tfrac{1}{6}s+\tfrac{1}{3}}.
(Detalhe: não é necessário simplificar o ganho para obter \omega_0,\zeta,Q, que vêm do denominador.)
3) Comparar com s^{2}+2\zeta\omega_0 s+\omega_0^2:
\omega_0^2=\frac{1}{3}\approx0{,}333333, \qquad 2\zeta\omega_0=\frac{1}{6}\approx0{,}1666667.
  1. Calcular \omega_0:
\omega_0=\sqrt{\tfrac{1}{3}}=0{,}577350\ldots\approx0{,}57735\\ \text{rad/s}.
  1. Calcular \zeta a partir de 2\zeta\omega_0=\tfrac{1}{6}:
\zeta=\frac{1/6}{2\omega_0}=\frac{1}{12\omega_0} =\frac{1}{12\cdot0{,}57735\ldots}\approx0{,}14434.
  1. Calcular Q:
Q=\frac{1}{2\zeta}\approx\frac{1}{2\cdot0{,}14434}\approx3{,}46410.
Observação: também pode-se obter Q via \omega_0/(\tfrac{1}{6}): Q=\dfrac{\omega_0}{1/6}=6\omega_0\approx6\cdot0{,}57735\approx3{,}4641.

Passo 7

Resumo pedagógico final (como lembrar na prova):
  • Para ordem 1: escreva o denominador como 1+\tau s ou s+\omega_c e extraia \omega_c=1/\tau (ou o termo que acompanha s quando escrito como s+\omega_c).
  • Para ordem 2: divida pelo coeficiente de s^2 e compare com s^2+2\zeta\omega_0 s+\omega_0^2. Identifique \omega_0^2 (termo constante) e 2\zeta\omega_0 (coeficiente de s). Então calcule \omega_0, \zeta e Q=1/(2\zeta).
  • Sempre faça a normalização (dividir pelo coeficiente de s^2) antes de comparar termos — isso evita erros.

Resposta

H_{1}: primeira ordem, \omega_{c}=20\\ \mathrm{rad/s}
H_{2}: primeira ordem, \omega_{c}=2\\ \mathrm{rad/s}
H_{3}: segunda ordem, \omega_{0}=0{,}63246\\ \mathrm{rad/s},\\ \zeta=0{,}15811,\\ Q=3{,}16228
H_{4}: segunda ordem, \omega_{0}=0{,}57735\\ \mathrm{rad/s},\\ \zeta=0{,}14434,\\ Q=3{,}46410

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