Considere as seguintes funções de transferência
Para cada função de transferência determine:
Se o filtro for de primeira ordem, a frequência de corte
e se o filtro for de segunda ordem, a frequência central
, fator de amortecimento e fator de qualidade do filtro
Se o filtro for de primeira ordem, a frequência de corte
Passo 1
O enunciado fornece quatro funções de transferência:
O que pede para cada função é:
- Se for filtro de primeira ordem: determinar a frequência de corte
. - Se for filtro de segunda ordem: determinar a frequência central
, o fator de amortecimento e o fator de qualidade .
Informações relevantes dadas (as quatro funções acima) são todas as que precisamos. A partir daqui vamos, uma a uma, reescrever cada função numa forma padrão e extrair os parâmetros pedidos.
Passo 2
Conceitos e formas padrão (mini-aula rápida e prática):
- Filtro de primeira ordem (forma padrão para baixa frequência):
, onde é a constante de tempo e é a frequência de corte em rad/s. Para filtro passa-alta de primeira ordem a forma típica é . - Filtro de segunda ordem (forma canônica):
(passa-baixa padrão) ou, em forma normalizada do denominador,
onde
e portanto
- Procedimento prático: dividir o numerador e denominador pelo coeficiente do termo
(se houver) para comparar com . Para ordem 1, reescrever denominador em forma ou .
Vou aplicar isso a cada
, mostrando passo a passo as contas.
Passo 3
Análise de
.
- Identificar ordem: denominador é do tipo linear em
(grau 1) → filtro de primeira ordem. - Colocar em forma
. Factorizando :
Logo
- Comparando com
temos s e, portanto,
Comentário prático: também dá para ver escrevendo
, o polo está em
, então a frequência de corte é
.
Passo 4
Análise de
.
- Identificar ordem: denominador linear → primeira ordem. Note que o numerador tem um fator
, logo é um passa-alta de primeira ordem (zero em ). - Colocar em forma padrão
. Factorizando no denominador:
- Comparando com
obtemos
Passo 5
Análise de
.
- Identificar ordem: denominador é de grau 2 → filtro de segunda ordem. O numerador proporcional a
sugere uma resposta do tipo band-pass (ou pelo menos um termos de ordem 1 no numerador), mas para os parâmetros pedidos só precisamos normalizar o denominador. - Dividir numerador e denominador pelo coeficiente de
(que é ) para colocar o denominador na forma :
- Comparar o denominador com
. Assim:
- Calcular
:
- Calcular
a partir de :
- Calcular
por :
Observação: alternativamente pode-se usar a forma
e calcular
, dá o mesmo resultado.
Passo 6
Análise de
.
- Identificar ordem: denominador é de grau 2 → filtro de segunda ordem. (O numerador é do mesmo grau, então o filtro pode ter ganho não-nulo em DC; ainda assim os parâmetros pedidos vêm do denominador).
- Normalizar o denominador dividindo por
:
(Detalhe: não é necessário simplificar o ganho para obter
, que vêm do denominador.)
3) Comparar com :
3) Comparar com
- Calcular
:
- Calcular
a partir de :
- Calcular
:
Observação: também pode-se obter
via
:
.
Passo 7
Resumo pedagógico final (como lembrar na prova):
- Para ordem 1: escreva o denominador como
ou e extraia (ou o termo que acompanha quando escrito como ). - Para ordem 2: divida pelo coeficiente de
e compare com . Identifique (termo constante) e (coeficiente de ). Então calcule , e . - Sempre faça a normalização (dividir pelo coeficiente de
) antes de comparar termos — isso evita erros.
Resposta
H_{1}: primeira ordem,
H_{2}: primeira ordem,
H_{3}: segunda ordem,
H_{4}: segunda ordem,
H_{2}: primeira ordem,
H_{3}: segunda ordem,
H_{4}: segunda ordem,