Considere as seguintes igualdades:
I) III)
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen} \pi x}{x-1}=\pi \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{4}-2 x+1}{4 x^{3}+3 x+2}=+\infty
II) IV)
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{x^{2}+3 x+1}=0 \lim _{x \rightarrow+\infty} \log _{\frac{1}{3}} x=+\infty
Com respeito às afirmativas anteriores, assinale a opção que indica a quantidade exata de itens VERDADEIROS.
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
(e) 4

Passo 1

O enunciado pede para analisar quatro limites e contar quantos são verdadeiros. O conteúdo envolve cálculo de limites de tipo 0/0 (onde podemos usar regra de L’Hôpital), limites de razão de polinômios em +\infty (comparar graus) e limite de logaritmo com base menor que 1.

Passo 2

Analisando I:
\lim_{x\to1}\frac{\sin(\pi x)}{x-1}.
Como no numerador e no denominador temos 0 em x=1, aplicamos L’Hôpital:
\lim_{x\to1}\frac{\sin(\pi x)}{x-1} =\lim_{x\to1}\frac{\pi\cos(\pi x)}{1} =\pi\cos(\pi) =-\pi.
Logo I está errada, pois o enunciado dizia que valia +\pi.

Passo 3

Analisando II:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x^2+3x+1}.
Como o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), a razão tende a 0. Portanto II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III:
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^4-2x+1}{4x^3+3x+2}.
Aqui o grau do numerador (4) é maior que o do denominador (3), então a razão tende a +\infty. Logo III é verdadeira.

Passo 5

Analisando IV:
\lim_{x\to+\infty}\log_{1/3}x.
Escrevendo em log natural:
\log_{1/3}x =\frac{\ln x}{\ln(1/3)}.
Como \ln x\to+\infty e \ln(1/3)<0, o quociente vai para -\infty. Portanto IV está errada.

Passo 6

Das quatro afirmações, apenas II e III são verdadeiras. Logo há exatamente duas afirmativas corretas.

Resposta

(c) 2

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