Qual o valor de
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x+2} ?
(c) e^{2}
(d) e^{-1}
(e) e^{-2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2}
e apresenta como opções apenas
(c) e^{2}, (d) e^{-1} e (e) e^{-2}.
Para resolver, vamos usar o fato clássico de que
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x} = e.

Passo 2

Escrevemos
\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} = \Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x}\times\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2}.
À medida que x\to+\infty, o primeiro fator tende a e e o segundo tende a
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{2} = 1^{2} = 1.

Passo 3

Portanto
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{x+2} = e \times 1 = e.

Passo 4

Observando as alternativas disponíveis — e^{2}, e^{-1} e e^{-2} — nenhuma coincide com o valor e. Logo, não há alternativa correta entre as listadas.

Resposta

O limite vale e, que não corresponde a nenhuma das opções (c), (d) ou (e).

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